Att memorera enhetscirkeln: 14 steg (med bilder)

Steg
- Del 1 av 2: Kom ihåg radianerna
- Del 2 av 2: Kom ihåg x- och y-koordinaterna (cosinus, sinus)
Tips

Att lära sig enhetscirkeln hjälper dig inte bara med trigonometri och geometri, utan också med differential- och integralkalkyl. Det kan verka som om du har mycket att komma ihåg, men när du väl förstår hur det fungerar kan du börja med några siffror från enhetscirkeln och snabbt räkna ut resten.

Steg

Del 1 av 2: Kom ihåg radianerna

1. Rita två vinkelräta linjer. Placera en kompass på ett stort pappersark. Rita en vertikal och en horisontell linje. Dessa ska skära varandra nära mitten av sidan. Dessa är x-axeln och y-axeln i grafen.

Bild med titeln Memorize the Unit Circle Steg 2

2. Rita en cirkel. Använd en kompass och rita en stor cirkel centrerad i skärningspunkten mellan de två linjerna.

Bild med titeln Memorize the Unit Circle Steg 3

3. Förstå radianer. En radian är ett vinkelmått. Det definieras huvudsakligen på så sätt att en person som går runt en cirkel med en Stråle på 1 enhet rör sig genom en vinkel på en radian efter att ha gått 1 enhet runt omkretsen. I nästa steg kommer vi att ange de fyra koordinatpunkterna med radianvärdet. Om du kommer ihåg formeln för förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess radie kan du räkna ut det snabbt, men även om du inte kommer ihåg det.

Radianmåtten för enhetscirkeln förutsätter alltid att du utgår från punkten (0, 1). För att tydliggöra vilken punkt vi syftar på beskriver vi cirkeln som en kompassros:

Bild med titeln Memorize the Unit Circle Steg 4

4. Kom ihåg att cirkelns omkrets är 2π. Cirkelns omkrets är lika med 2πr, varigenom r står för radien (radien). Eftersom enhetscirkeln har en radie på 1 kan vi förenkla omkretsen till 2π. Radianvärdet för en punkt på omkretsen kan hittas genom att helt enkelt dividera 2π med den del av cirkeln du hade. Detta är mycket lättare än att memorera varje enskilt värde på cirkeln.

Bild med titeln Memorize the Unit Circle Steg 5

5. Ange de fyra punkterna på x- och y-axlarna. Allt du behöver göra är att dela upp 2π i fjärdedelar:

"Öst" är utgångspunkten, så du har 0 hade radianer.

`Norr` = en fjärdedel av cirkelns omkrets = /₄ = /₂ radianer.

`Väst` = halvvägs genom cirkeln = /₂ = π radianer.

`Söder` = tre fjärdedelar av cirkeln = 2π * ¾ = /₂ radianer.

Går du längs hela omkretsen återvänder du till startpunkten. Du kan ange detta som 2π eller 0.

Bild med titeln Memorize the Unit Circle Steg 6

6. Dela cirkeln i åtta bitar. Dra nu en diagonal linje genom varje kvadrant, perfekt genom mitten. Återigen, använd division för att hitta värdet i radianer:

/₄

(π/2, π, 3π/2 och 2π har redan indikerats.)

Bild med titeln Memorize the Unit Circle Steg 7

7. Dela cirkeln i sex segment. Rita nu ytterligare linjer som delar cirkeln i sex segment. (Du kan använda en gradskiva för detta, med början på den positiva x-axeln, där varje segment mäter 60 grader). Du kan använda samma tillvägagångssätt som ovan för att se till att en sjättedel av en cirkel är lika med /₆ = /₃ radianer. Använd den här etiketten för följande punkter på omkretsen (en i varje kvadrant):

/₃

(π och 2π är redan indikerade)

Bild med titeln Memorize the Unit Circle Steg 8

8. Rita tolftedelar i den. De sista punkterna markerade på de flesta enhetscirklar indikerar steg på en tolftedel av omkretsen. Endast fyra av dessa har ännu inte deklarerats:

/₆

Del 2 av 2: Kom ihåg x- och y-koordinaterna (cosinus, sinus)

Bild med titeln Memorize the Unit Circle Steg 9

1. Förstå cosinus och sinus. Enhetscirkeln är särskilt användbar för trigonometriska beräkningar med räta vinklar. Alla x-koordinater för en punkt på cirkeln är lika med cos(θ) och alla y-koordinater är lika med sin(θ), där θ är värdet på vinkeln.

Om du tycker att det är svårt att komma ihåg, tänk på (cos, sin) "eftersom sinus kommer sist".
Du kan härleda detta genom att använda räta trianglar och definitionen av dessa funktioner — kom ihåg `soscastoa`?

Bild med titeln Memorize the Unit Circle Steg 10

2. Skriv ner koordinaterna vid fyra punkter i cirkeln. En "enhetscirkel" är helt enkelt en cirkel med en radie på exakt en enhet. Använd dessa för att hitta x- och y-koordinaterna för de fyra punkterna på cirkeln där den skär en axel. (Vi kallar dessa `öst`, `norr`, etc. för att underlätta läsningen, men det här är inte officiella namn).

Koordinaterna för "öst" är (1, 0).

Koordinaterna för "Nord" är (0, 1).

Koordinaterna för "väst" är (-1, 0).

Koordinaterna för "Söder" är (0, -1).

Detta fungerar precis som en vanlig graf. Du bör kunna hitta dessa koordinater själv, utan att behöva memorera dem.

Bild med titeln Memorize the Unit Circle Steg 11

3. Memorera koordinaterna för den första kvadranten. Den första kvadranten är den övre högra fjärdedelen av cirkeln, där både x-värden som den y-värden är positiva. Det här är de enda koordinaterna du behöver komma ihåg:

På /₆, är koordinaterna ( $\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}$ ${frac{{sqrt{3}}}{2}},{frac{1}{2}}$ ).

På /₄, är koordinaterna ( $\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}$ ${frac{{sqrt{2}}}{2}},{frac{{sqrt{2}}}{2}}$ ).

På /₃, är koordinaterna ( $\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}$ ${frac{1}{2}},{frac{{sqrt{3}}}{2}}$ ).

Observera att det bara finns tre räknare. Rör du dig i en positiv riktning (vänster till höger för x-värden, från botten till toppen för y-värden), då är sekvensen som följer: 1 → √2 → √3.

Bild med titeln Memorize the Unit Circle Steg 12

4. Rita raka linjer för att fylla i de andra koordinaterna. Om du kan rita en perfekt vertikal eller en perfekt horisontell linje mellan två punkter, så har de samma absoluta värde som x- och y-koordinater. Med andra ord kan du rita en linje från en punkt i de första kvadranterna, skriva samma koordinater vid den punkt där du landar och lämna utrymme till höger om den för tecknet (+ eller -).

Du kan till exempel rita en horisontell linje mellan /₃ och /₃. Eftersom koordinaterna vid den första punkten (

\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}

${frac{1}{2}},{frac{{sqrt{3}}}{2}}$ ), koordinaterna för den andra punkten (?

\frac{1}{2}, ? \frac{\sqrt{3}}{2}

${frac{1}{2}},?{frac{{sqrt{3}}}{2}}$ ), varvid `?` representerar ett plus- eller minustecken (+ eller -).

Här är ett snabbare sätt: Kontrollera radianernas nämnare. Alla punkter som slutar på /3 har samma absoluta koordinater, precis som alla punkter som slutar på /4 och alla punkter som slutar på /6.

Bild med titeln Memorize the Unit Circle Steg 13

5. Använd symmetri för att ta reda på om tecknet är positivt eller negativt. Det finns flera sätt att komma ihåg var du ska placera minustecknen på enhetscirkeln:

Tänk grundläggande regler för diagram. Ovanför X-axeln är punkterna positiva, under den negativa. Till vänster om y är negativ, rätt är positivt.

Börja från kvadrant 1 och rita linjer till andra punkter. Om linjen de y-axeln korsar y-värdet kommer att byta tecken. Om linjen de X-axeln korsar, då ändrar x-värdet tecken.

Lär dig `All Students Test Calculus` (ASTC), moturs. Kvadrant 1 har aendast positiva värden, kvadrant 2 har bara positiva värden sinus-värden, Quadrant 3 har bara positiva tangens värden, och kvadrant 4 har bara positiva Cosinvärden.

Oavsett vilken metod du väljer är tecknen (+, +) för kvadrant 1, (-, +) för kvadrant 2, (-, -) för kvadrant 3 och (+,-) för kvadrant 4.

Bild med titeln Memorize the Unit Circle Steg 14

6. Kontrollera ditt arbete. Här är den fullständiga listan med koordinatvärden för varje märkt punkt på cirkeln (de fyra punkterna på axlarna inte räknas med), medurs. Kom ihåg att du bör kunna hitta alla dessa värden bara genom att memorera punkterna i kvadrant 1:

Kvadrant 1: (

\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}

${frac{{sqrt{3}}}{2}},{frac{1}{2}}$ ); (

\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}

${frac{{sqrt{2}}}{2}},{frac{{sqrt{2}}}{2}}$ ); (

\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}

${frac{1}{2}},{frac{{sqrt{3}}}{2}}$ ).

Kvadrant 2: (

- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}

$-{frac{1}{2}},{frac{{sqrt{3}}}{2}}$ ); (

- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}

$-{frac{{sqrt{2}}}{2}},{frac{{sqrt{2}}}{2}}$ ); (

- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}

$-{frac{{sqrt{3}}}{2}},{frac{1}{2}}$ )

Kvadrant 3: (

- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2}

$-{frac{{sqrt{3}}}{2}},-{frac{1}{2}}$ ); (

- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}

$-{frac{{sqrt{2}}}{2}},-{frac{{sqrt{2}}}{2}}$ ); (

- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}

$-{frac{1}{2}},-{frac{{sqrt{3}}}{2}}$ )

Kvadrant 4: (

\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}

${frac{1}{2}},-{frac{{sqrt{3}}}{2}}$ ); (

\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}

${frac{{sqrt{2}}}{2}},-{frac{{sqrt{2}}}{2}}$ ); (

\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2}

${frac{{sqrt{3}}}{2}},-{frac{1}{2}}$ )

Tips

Om du har ett test eller repetition på enhetscirkeln, rita först cirkeln på lapppapper så att du kan använda den som referens för varje problem.
Processen kommer att gå betydligt snabbare om du övar mycket. I framtiden kanske du bara behöver se x- och y-axlarna för att komma ihåg allt, eller så behöver du kanske inte ens ett diagram längre.