Hitta varje term i en aritmetisk sekvens

Steg
Varningar
Tips

En aritmetisk sekvens är en sekvens av tal som i följd skiljer sig från varandra med ett konstant värde. Till exempel sekvensen av jämna tal, $0, 2, 4, 6, 8$ $0,2,4,6,8$ … är en aritmetisk sekvens, eftersom skillnaden mellan ett tal i sekvensen med avseende på nästa alltid är lika med två. Om du vet att du har att göra med en aritmetisk sekvens kan du bli ombedd att bestämma nästa nummer i sekvensen. Du kan också bli ombedd att fylla i ett saknat nummer i sekvensen. Och så småningom kanske du vill veta hur man bestämmer det 100:e talet utan att faktiskt skriva alla hundra siffrorna på. Några enkla steg kan hjälpa dig med var och en av dessa uppgifter.

Steg

Metod 1 av 4: Hitta nästa tal i en aritmetisk följd

1. Hitta skillnadsfaktorn för serien. När du presenteras för en samling siffror kan det stå att det är en aritmetisk sekvens, eller så måste du hitta på detta själv. Åtminstone det första steget är detsamma. Välj de två första numren i följd i uppsättningen. Subtrahera det första talet från det andra talet. Resultatet är skillnadsfaktorn för din serie.

Anta till exempel att du har samlingen $1, 4, 7, 10, 13$ $1,4,7,10,13$ .... Gör det då $4 - 1$ $4-1$ för att få skillnadsfaktorn 3.
Anta att du har en samling fallande siffror, som t.ex $25, 21, 17, 13$ $25,21,17,13$ ... Sedan subtraherar du ändå det första talet från det andra för att hitta skillnaden. I det här fallet ger detta $21 - 25 = - 4$ $21-25=-4$ . Det negativa resultatet gör att din samling minskar från vänster till höger. Se alltid till att tecknet på skillnaden motsvarar den riktning som siffrorna ser ut att gå.

Bild med titeln Hitta valfri term i en aritmetisk sekvens Steg 2

2. Kontrollera om skillnadsfaktorn är konstant. Att bestämma skillnadsfaktorn för endast de två första talen säkerställer inte att mängden är en aritmetisk sekvens. Du måste vara säker på att skillnaden bibehålls konsekvent genom hela serien. Kontrollera skillnaden genom att subtrahera två på varandra följande tal i uppsättningen. Om resultatet är konsekvent för ett eller två andra talpar, har du förmodligen att göra med en aritmetisk sekvens.

Vi fortsätter att arbeta med samma exempel,

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ Välj det andra och tredje numret i uppsättningen. do

7 - 4

$7-4$ och du kommer att se att skillnaden fortfarande är lika med 3. För att bekräfta detta, välj ett annat exempel och gör det

13 - 10

$13-10$ för att ta reda på att skillnaden hela tiden är 3. Du kan nu vara någorlunda säker på att du har att göra med en aritmetisk sekvens.

Det är möjligt för en uppsättning siffror att se ut att ha egenskaperna hos en aritmetisk sekvens baserat på de första talen och sedan avvika från dem. Ta till exempel setet

1, 2, 3, 6, 9

$1,2,3,6,9$ ... Skillnaden mellan det första och andra talet är 1 och skillnaden mellan det andra och tredje talet är också 1. Men skillnaden mellan det tredje och fjärde talet är 3. Eftersom skillnaden inte gäller för alla tal i hela mängden är detta inte en aritmetisk sekvens.

Bild med titeln Hitta valfri term i en aritmetisk sekvens Steg 3

3. Lägg till skillnadsfaktorn till den sista siffran. Det är lätt att hitta nästa tal i en aritmetisk följd när du vet skillnadsfaktorn. Lägg bara till skillnadsfaktorn till det sista sista numret i setet och du får följande nummer.

Till exempel i exemplet med

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ..., kan du bestämma nästa nummer i uppsättningen genom att lägga till skillnadsfaktorn 3 till det senast angivna talet. do

13 + 3

$13+3$ och du får 16, vilket är nästa nummer. Du kan fortsätta att lägga till 3 för att göra sekvensen så lång som du vill. Till exempel kan sekvensen vara

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25

$1,4,7,10,13,16,19,22,25$ ... Du kan fortsätta med detta på obestämd tid.

Metod 2 av 4: Leta efter ett saknat nummer

Bild med titeln Hitta valfri term i en aritmetisk sekvens Steg 4

1. Bekräfta att du börjar med en aritmetisk sekvens. I vissa fall har du att göra med en samling nummer med ett saknat nummer i mitten. Som tidigare nämnt, börja med att kontrollera att din samling är en aritmetisk sekvens. Välj två på varandra följande tal och hitta skillnaden mellan dem. Kontrollera sedan detta mot två andra på varandra följande nummer i sekvensen. Om skillnaden är densamma kan du anta att du har att göra med en aritmetisk sekvens, och du kan fortsätta.

Anta till exempel att du har sekvensen $0, 4$ $0,4$ ,___, $12, 16, 20$ $12,16,20$ ... Börja med avdraget $4 - 0$ $4-0$ och du får 4 som skillnad. Kontrollera detta mot två andra på varandra följande nummer, som t.ex $16 - 12$ $16-12$ . Skillnaden är återigen 4. Du kan nu fortsätta.

Bild med titeln Hitta valfri term i en aritmetisk sekvens Steg 5

2. Lägg till skillnadsfaktorn till talet för det tomma utrymmet. Detta motsvarar att lägga till ett tal i slutet av en sekvens. Hitta numret omedelbart före det tomma utrymmet i din sekvens. Detta är det "sista" kända numret. Lägg till skillnaden som hittats till detta nummer, så får du det nummer som ska passa på det okändas plats.

I vårt exempel,

0, 4

$0,4$ ,____,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., det okända är lika med 4 och skillnaden i denna serie är också 4. Så detta läggs ihop

4 + 4

$4+4$ och så får du 8, numret som kan fyllas i för det okända.

Bild med titeln Hitta valfri term i en aritmetisk sekvens Steg 6

3. Subtrahera skillnadsfaktorn från talet efter det okända. För att vara säker på att du hittade rätt svar, kolla igen från andra hållet. En aritmetisk sekvens bör konsekvent gå i en viss riktning. Om du går från vänster till höger och fortsätter att lägga till 4, kan du göra tvärtom från höger till vänster och subtrahera 4 från föregående tal.

I exemplet,

0, 4

$0,4$ ,___,

12, 16, 20

$12,16,20$ …, talet omedelbart efter det okända är lika med 12. Subtrahera skillnadsfaktorn 4 från detta tal och du får

12 - 4 = 8

$12-4=8$ . Resultatet 8 kan sedan fyllas i för det okända.

Bild med titeln Hitta valfri term i en aritmetisk sekvens Steg 7

4. Jämför dina resultat. De två resultaten du får genom att lägga till (från vänster till höger) eller subtrahera (från höger till vänster) bör matcha. I så fall har du hittat det saknade numret. Om de inte stämmer överens måste du kontrollera ditt arbete igen. Du har kanske inte att göra med en ren aritmetisk sekvens.

I exemplet, de två resultaten av

4 + 4

$4+4$ och

12 - 4

$12-4$ båda svarar 8. Så det saknade talet i denna aritmetiska sekvens är 8. Hela serien är

0, 4, 8, 12, 16, 20

$0,4,8,12,16,20$ ...

Metod 3 av 4: Bestäm en godtycklig term för en aritmetisk sekvens

Bild med titeln Hitta valfri term i en aritmetisk sekvens Steg 8

1. Hitta det första numret i serien. Inte varje sekvens börjar med siffrorna 0 eller 1. Titta på den uppsättning siffror du har och hitta den första siffran. Detta är din utgångspunkt, som kan identifieras med variabler, såsom a(1).

Det är vanligt att aritmetiska sekvenser arbetar med variabeln a(1), som representerar det första numret i sekvensen. Du kan givetvis välja vilken variabel som helst, men utfallet bör vara detsamma.
Till exempel med tanke på serien $3, 8, 13, 18$ $3,8,13,18$ …, är den första siffran $3$ $3$ , som matematiskt kan betecknas som a(1).

Bild med titeln Hitta valfri term i en aritmetisk sekvens Steg 9

2. Bestäm skillnadsfaktorn som d. Bestäm skillnadsfaktorn för serien enligt ovan. I detta exempel är skillnadsfaktorn lika med

8 - 3

$8-3$ , och därför 5. Vid kontroll mot de andra siffrorna i sekvensen erhålls samma resultat. Vi betecknar denna skillnadsfaktor med den matematiska variabeln d.

Bild med titeln Hitta valfri term i en aritmetisk sekvens Steg 10

3. Använd den explicita formeln. En explicit formel är en matematisk ekvation som du kan använda för att hitta vilket tal som helst i en aritmetisk sekvens utan att behöva skriva ut hela sekvensen. Den explicita formeln för en matematisk sekvens är

a (n) = a (1) + (n - 1) d

$a(n)=a(1)+(n-1)d$ .

Talet a(n) kan läsas som "det n:te talet av a", där n är talet i sekvensen du vill hitta och a(n) är det faktiska värdet av det talet. Om du till exempel blir ombedd att hitta den hundrade posten i en aritmetisk sekvens, är n lika med 100. Observera att n är lika med 100, i det här exemplet, men a(n) är värdet på det hundrade talet, inte talet 100 i sig.

Bild med titeln Hitta valfri term i en aritmetisk sekvens Steg 11

4. Fyll i alla detaljer för att lösa problemet. Använd denna explicita formel för din sekvens, fyll i alla uppgifter du har till ditt förfogande för att bestämma numret du behöver.

Till exempel i det här exemplet,

3, 8, 13, 18

$3,8,13,18$ …, vi vet att a(1), det första talet, är lika med 3 och att skillnadsfaktorn d är lika med 5. Anta att du ombeds hitta det hundrade talet i den sekvensen. Då är n=100 och (n-1)=99. Den fullständiga explicita formeln, med inmatade data, är då

a (100) = 3 + (99) (5)

$a(100)=3+(99)(5)$ . Detta kan förenklas till 498, det hundrade talet i den serien.

Metod 4 av 4: Använd den explicita formeln för att få mer data

Bild med titeln Hitta valfri term i en aritmetisk sekvens Steg 12

1. Ordna om den explicita formeln för att hitta andra variabler. Använd den explicita formeln och någon enkel algebra för att hitta olika delar av information om den aritmetiska sekvensen. I sin ursprungliga form (

a (n) = a (1) + (n - 1) d

$a(n)=a(1)+(n-1)d$ ), är den explicita formeln utformad för att lösa en_n och ger dig det n:e numret i serien. Du kan dock manipulera den här formeln matematiskt för att lösa andra variabler också.

Anta till exempel att du känner till slutet av en talföljd, men du vill veta början på sekvensen. Ordna sedan om formeln för att få $a (1) = (n - 1) d - a (n) .$ $a(1)=(n-l)d-a(n)$
Om du vet startpunkten och slutpunkten för en aritmetisk sekvens, men du vill veta hur många tal det finns i mängden, kan du använda den explicita formeln för att lösa n. Detta blir då $n = a (n) - a (1) d + 1$ $n={frac{a(n)-a(1)}{d}}+1$ .
Om du först vill gå igenom de grundläggande reglerna för algebra som du behöver för att kunna räkna ut detta, läs mer om algebra resp enkla algebraiska ekvationer.

Bild med titeln Hitta valfri term i en aritmetisk sekvens Steg 13

2. Hitta den första siffran i en serie. Du kanske vet att det 50:e talet i en aritmetisk sekvens är lika med 300 och att talen ökar med 7 (skillnadsfaktorn), men du skulle vilja veta vad det första talet i sekvensen var. Använd den modifierade explicita formeln för att lösa a1 för att ta reda på ditt svar.

Använd ekvationen

a (1) = (n - 1) d - a (n)

$a(1)=(n-1)d-a(n)$ och fyll i all information du har. Eftersom du vet att det 50:e talet är 300 vet du också att n=50, n-1=49 och a(n)=300. Dessutom ges också skillnadsfaktorn d, som är 7. Så formeln blir

a (1) = (49) (7) - 300

$a(1)=(49)(7)-300$ . Detta utarbetas

343 - 300 = 43

$343-300=43$ . Sekvensen du har börjat på 43 och har en skillnadsfaktor på 7. Så sekvensen ser ut som 43,50,57,64,71,78...293,300.

Bild med titeln Hitta valfri term i en aritmetisk sekvens Steg 14

3. Bestäm längden på en sekvens. Anta att du vet hur sekvensen börjar och slutar, men behöver ta reda på hur lång sekvensen är. Använd sedan den modifierade formeln

n = a (n) - a (1) d + 1

$n={frac{a(n)-a(1)}{d}}+1$ .

Anta att du vet att en given aritmetisk sekvens börjar med 100 och summerar med 13. Dessutom anges också att det sista numret är 2856. För att hitta längden på sekvensen, använd siffrorna a1=100, d=13 och a(n)=2856. Tillämpa dessa siffror på formeln för att få

n = 2856 - 100 13 + 1

$n={frac{2856-100}{13}}+1$ . När du har löst det här kommer du att få

n = \frac{2756}{13} + 1

$n={frac{2756}{13}}+1$ , vilket är lika med 212+1, vilket återigen är 213. Det finns 213 nummer i den sekvensen.

Det här exemplet ser ut som 100, 113, 126, 139... 2843, 2856.

Varningar

Det finns olika typer av talföljder. Anta inte att en uppsättning tal är en aritmetisk sekvens. Kontrollera alltid två par siffror, helst tre eller fyra, för att hitta skillnadsfaktorn för uppsättningen av siffror.