Hitta summan av en aritmetisk sekvens

En aritmetisk sekvens är en talföljd där varje tal ökar med ett konstant värde. För summan av en aritmetisk sekvens kan du lägga till alla siffror tillsammans. Detta är dock inte riktigt praktiskt när sekvensen innehåller ett stort antal termer. Istället kan du snabbt hitta summan av varje aritmetisk sekvens genom att multiplicera medelvärdet av det första och sista talet med antalet termer i sekvensen.

Steg

Del 1 av 3: Analysera din sekvens

Bild med titeln Hitta summan av en aritmetisk sekvens Steg 1
1. Se till att du har en aritmetisk sekvens. En aritmetisk sekvens är en ordnad lista med tal, där förändringen av talen är konstant. Den här metoden fungerar bara om din uppsättning siffror är en aritmetisk sekvens.
  • För att avgöra om du har att göra med en aritmetisk sekvens, hitta skillnaden mellan det första eller sista paret av tal. Se till att skillnaden alltid är densamma.
  • Till exempel är talföljden 10, 15, 20, 25, 30 en aritmetisk följd, eftersom skillnaden mellan varje nummer konstant är fem.
Bild med titeln Hitta summan av en aritmetisk sekvens Steg 2
2. Bestäm antalet termer i din sekvens. Varje tal är en term. Om bara ett nummer nämns kan du räkna dem. Om du känner till den första siffran, den sista siffran och skillnadsfaktorn (skillnaden mellan varje nummer), kan du använda en formel för att bestämma antalet siffror. Detta nummer presenteras av variabeln n{displaystyle n}n.
  • Om du till exempel vill beräkna summan av serierna 10, 15, 20, 25, 30, n=5{displaystyle n=5}n=5, eftersom det finns fem nummer i sekvensen.
  • Bild med titeln Hitta summan av en aritmetisk sekvens Steg 3
    3. Hitta den första och sista siffran i sekvensen. Du måste känna till båda siffrorna för att beräkna summan av den aritmetiska sekvensen. Ofta är den första siffran ett, men inte alltid. Ställ in variabeln a1{displaystyle a_{1}}a_{{1}} lika med det första talet i sekvensen, och an{displaystyle a_{n}}en}} lika med den sista siffran i sekvensen.
  • Till exempel i sekvensen 10, 15, 20, 25, 30 a1=10{displaystyle a_{1}=10}a_{{1}}=10, och an=30{displaystyle a_{n}=30}a_{{n}}=30.
  • Del 2 av 3: Beräkna summan

    Bild med titeln Hitta summan av en aritmetisk sekvens Steg 4
    1. Skriv formeln för att hitta summan av en aritmetisk följd. Formeln är sn=n(a1+an2){displaystyle S_{n}=n({frac {a_{1}+a_{n}}{2}})}S_{{n}}=n({frac{a_{{1}}+a_{{n}}}{2}}), varigenom sn{displaystyle S_{n}}S_{{n}} är lika med summan av serien.
    • Observera att denna formel indikerar att summan av den aritmetiska sekvensen är lika med medelvärdet av det första och sista talet multiplicerat med antalet siffror.
    Bild med titeln Hitta summan av en aritmetisk sekvens Steg 5
    2. Ange värdena n{displaystyle n}n, a1{displaystyle a_{1}}a_{{1}} och an{displaystyle a_{n}}en}} i formeln i. Se till att du byter ut rätt.
  • Till exempel, om det finns fem siffror i din sekvens, där 10 är den första siffran och 30 är den sista siffran, kommer din formel att se ut så här: sn=5(10+302){displaystyle S_{n}=5({frac {10+30}{2}})}S_{{n}}=5({frac{10+30}{2}}).
  • Bild med titeln Hitta summan av en aritmetisk sekvens Steg 6
    3. Beräkna medelvärdet av det första och andra talet. Det gör du genom att lägga ihop de två talen och dividera med två.
  • Till exempel:
    sn=5(402){displaystyle S_{n}=5({frac {40}{2}})}S_{{n}}=5({frac{40}{2}})
    sn=5(20){displaystyle S_{n}=5(20)}S_{{n}}=5(20)
  • Bild med titeln Hitta summan av en aritmetisk sekvens Steg 7
    4. Multiplicera medelvärdet med antalet tal i serien. Detta ger dig summan av den aritmetiska sekvensen.
  • Till exempel:
    sn=5(20){displaystyle S_{n}=5(20)}S_{{n}}=5(20)
    sn=100{displaystyle S_{n}=100}S_{{n}}=100
    Så summan av serien (10, 15, 20, 25, 30) är lika med 100.
  • Del 3 av 3: Slutföra provproblemen

    Bild med titeln Hitta summan av en aritmetisk sekvens Steg 8
    1. Hitta summan av talen från 1 till 500. Inkludera alla på varandra följande heltal i beräkningen.
    • Bestäm antalet termer (n{displaystyle n}n) i serien. Eftersom du räknar alla på varandra följande heltal upp till och med 500, n=500{displaystyle n=500}n=500.
    • Bestäm den första (a1{displaystyle a_{1}}a_{{1}}) och sist (an{displaystyle a_{n}}en}}) nummer i sekvensen. Eftersom vi antar serien 1 till 500, så gäller det a1=1{displaystyle a_{1}=1}a_{{1}}=1 och an=500{displaystyle a_{n}=500}a_{{n}}=500.
    • Hitta medelvärdet av a1{displaystyle a_{1}}a_{{1}} och an{displaystyle a_{n}}en}}: 1+5002=250,5{displaystyle {frac {1+500}{2}}=250,5}{frac{1+500}{2}}=250,5.
    • Multiplicera medelvärdet med n{displaystyle n}n: 250.5×500=125,250{displaystyle 250.5 gånger 500=125 250}250,5 gånger 500=125,250.
    Bild med titeln Hitta summan av en aritmetisk sekvens Steg 9
    2. Hitta summan av den angivna aritmetiska sekvensen. Den första siffran i sekvensen är tre. Den sista siffran i sekvensen är 24. Skillnadsfaktorn är sju.
  • Bestäm antalet siffror (n{displaystyle n}n) i serien. Eftersom du börjar med tre, slutar med 24 och lägger till sju varje gång, är talföljden 3, 10, 17, 24. (Skillnadsfaktorn är skillnaden mellan varje nummer i serien.) Detta innebär att n=4{displaystyle n=4}n=4
  • Bestäm den första (a1{displaystyle a_{1}}a_{{1}}) och sist (an{displaystyle a_{n}}en}}) nummer i sekvensen. Eftersom sekvensen är 3 till 24, a1=3{displaystyle a_{1}=3}a_{{1}}=3 och an=24{displaystyle a_{n}=24}a_{{n}}=24.
  • Hitta medelvärdet av a1{displaystyle a_{1}}a_{{1}} och an{displaystyle a_{n}}en}}: 3+242=13,5{displaystyle {frac {3+24}{2}}=13.5}{frac{3+24}{2}}=13,5.
  • Multiplicera medelvärdet med n{displaystyle n}n: 13,5×4=54{displaystyle 13.5times 4=54}13,5 gånger 4=54.
  • Bild med titeln Hitta summan av en aritmetisk sekvens Steg 10
    3. Lös följande problem. Mara sparar 5 euro första veckan på året. Resten av året ökar hon sitt sparande med 5 euro varje vecka. Hur mycket pengar sparade Mara i slutet av året?
  • Bestäm antalet termer (n{displaystyle n}n) i serien. Eftersom Mara sparar i 52 veckor, (1 år), n=52{displaystyle n=52}n=52.
  • Bestäm den första (a1{displaystyle a_{1}}a_{{1}}) och sist (an{displaystyle a_{n}}en}}) nummer i sekvensen. Det första beloppet hon sparar är fem euro, alltså a1=5{displaystyle a_{1}=5}a_{{1}}=5. För att beräkna det totala beloppet som sparats under årets sista vecka, räknar vi 5×52=260{displaystyle 5times 52=260}5 gånger 52=260. så an=260{displaystyle a_{n}=260}a_{{n}}=260.
  • Bestämmer medelvärdet av a1{displaystyle a_{1}}a_{{1}} och an{displaystyle a_{n}}en}}: 5+2602=132,5{displaystyle {frac {5+260}{2}}=132,5}{frac{5+260}{2}}=132,5.
  • Multiplicera medelvärdet med n{displaystyle n}n: 135,5×52=6890{displaystyle 135.5times 52=6890}135,5 gånger 52=6890. Så hon sparade €6890 i slutet av året.

  • Оцените, пожалуйста статью