Beräkna kubrötter för hand (med bilder)

Steg
Tips
Varningar
Förnödenheter

Med hjälp av en miniräknare, beräkna kubroten av vilket tal som helst genom att bara trycka på några få tangenter. Men du kanske inte har en miniräknare eller så vill du imponera på dina vänner med din förmåga att räkna ut en kubrot direkt. Det finns en metod som ser lite tuff ut vid första anblicken, men som fungerar väldigt lätt med lite övning. Det är användbart att ha vissa färdiga kunskaper inom området aritmetiska färdigheter och beräkning av kubiktal.

Steg

Del 1 av 3: Arbeta fram en provuppgift

1. Förbered uppgiften. Att lösa kubroten till ett tal kommer att se ut som att lösa lång division, med vissa skillnader här och där. Det första steget är att skriva ner problemet korrekt.

Skriv ner talet du vill hitta kubroten av. Skriv siffrorna i grupper om tre, där kommatecken är utgångspunkten. I det här exemplet ska du hitta kubroten av 10. Skriv ner detta som 10 000 000. Nollorna behövs för att svaret ska vara korrekt.
Rita en radikal av kuben över numret. Detta tjänar samma syfte som den långa divisionslinjen. Den enda skillnaden är formen på symbolen.
Placera ett kommatecken ovanför linjen, direkt ovanför decimaltecknet i det ursprungliga numret.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 2

2. Känn till enheternas kuber. Du kommer att använda detta i dina beräkningar. Det gäller följande tredje befogenheter:

13 = 1 * 1 * 1 = 1

$1^{3}=1*1*1=1$

23 = 2 * 2 * 2 = 8

$2^{3}=2*2*2=8$

33 = 3 * 3 * 3 = 27

$3^{3}=3*3*3=27$

43 = 4 * 4 * 4 = 64

$4^{3}=4*4*4=64$

53 = 5 * 5 * 5 = 125

$5^{3}=5*5*5=125$

63 = 6 * 6 * 6 = 216

$6^{3}=6*6*6=216$

73 = 7 * 7 * 7 = 343

$7^{3}=7*7*7=343$

83 = 8 * 8 * 8 = 512

$8^{3}=8*8*8=512$

93 = 9 * 9 * 9 = 729

$9^{3}=9*9*9=729$

103 = 10 * 10 * 10 = 1000

$10^{3}=10*10*10=1000$

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 3

3. Hitta den första siffran i ditt svar. Välj ett tal som, till kuben, ger största möjliga resultat som är mindre än den första uppsättningen av tre tal.

I det här exemplet är den första uppsättningen av tre tal multiplicerade med 10. Bestäm den största kuben som är mindre än 10. Det är 8, och dess kubrot är 2.

Skriv siffran 2 ovanför det radikala tecknet, ovanför siffran 10. Skriv ner värdet på

23

$2^{3}$ , lika med 8, under talet 10; dra en linje och subtrahera talen på samma sätt som vid långdivision. Resultatet är 2.

Efter denna minussumma har du den första siffran i ditt svar. Du måste kontrollera om denna siffra är tillräckligt exakt. I de flesta fall kommer detta inte att vara fallet. Du kan kontrollera detta genom att höja numret till kuben och se om det är tillräckligt nära det önskade resultatet. I detta fall

23

$2^{3}$ är lika med 8, och det är inte riktigt nära 10, så du måste gå vidare.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 4

4. Gör uppställningen för nästa siffra. Skriv nästa grupp med tre siffror i resten och rita en kort vertikal linje till vänster om det resulterande numret. Detta kommer att vara numret vi använder för att bestämma nästa siffra i din kubrotlösning. I det här exemplet kommer detta att vara 2000, som skapas från återstoden 2 av föregående minussumma, med gruppen av tre nollor du tog ner.

Till vänster om den vertikala linjen, skriv ner lösningen av nästa divisor, som summan av tre separata tal. Ange de tomma utrymmena för dessa siffror genom att stryka under tre tomma utrymmen med plustecken under dem.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 5

5. Hitta början på nästa delare. För den första delen av divisorn, skriv trehundra gånger kvadraten av det som är ovanför radikalen. I det här fallet är det 2; 2^2 är 4 och 4*300=1200. Så skriv 1200 i det första tomma utrymmet. Divisorn för detta steg i lösningen kommer att vara 1200, plus något annat du kommer att beräkna på en minut.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 6

6. Hitta nästa nummer i din kubrot. Hitta nästa siffra i din lösning genom att välja vad du kan multiplicera med divisorn (1200-och-något) och subtrahera sedan från resten av 2000. Detta kan bara vara 1, eftersom 2 gånger 1200 är lika med 2400, vilket är större än 2000. Skriv siffran 1 i nästa utrymme ovanför radikalen.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 7

7. Hitta resten av divisorn. Divisorn i detta steg av lösningen består av tre delar. Den första delen är de 1200 du redan har. Du kommer nu att behöva lägga till två extra termer för att slutföra divisorn.

Beräkna nu 3 gånger 10 gånger vart och ett av de två talen som finns i din lösning ovanför radikalen. För detta enkla problem betyder det 3*10*2*1, vilket är lika med 60. Lägg till detta till de 1200 du redan hade och du får 1260.

Lägg till sist kvadraten på den sista siffran. I det här exemplet är det 1; och 1^2 är fortfarande 1. Så den totala divisorn är 1200+60+1, eller 1261. Notera detta till vänster om den vertikala linjen.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 8

8. Multiplicera och subtrahera. Avrunda denna del av lösningen genom att multiplicera den sista siffran i din lösning - i det här fallet talet 1 - gånger divisorn du just beräknade (1261). 1*1261 =1261. Skriv detta under 2000 och subtrahera 1261 från det för att få 739.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 9

9. Bestäm dig för att du ska gå längre för att få ett mer exakt svar. Efter att ha slutfört minussumman för varje steg måste du kontrollera om ditt svar är tillräckligt exakt. För kubroten av 10: efter den första minussumman var kubroten bara 2, och det är inte riktigt exakt. Nu, efter den andra omgången, är lösningen 2,1.

Du kan kontrollera precisionen för detta resultat med hjälp av kuben: 2.1*2.1*2.1. Resultatet är 9 261.

Om du tycker att resultatet är tillräckligt exakt kan du sluta. Vill du ha ett mer exakt svar får du gå en omgång till.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 10

10. Bestäm dealern för nästa omgång. I det här fallet, för mer övning och ett mer exakt svar, upprepa stegen för en annan omgång, enligt följande:

Ta ner nästa grupp med tre nummer. I det här fallet är dessa tre nollor, som kommer efter resten 739 och därmed 739.000 former.

Börja divisorn på 300 gånger kvadraten på talet som för närvarande är ovanför radikalen. Detta är

300 * 21 2

$300*21^{2}$ , och därför 132.300.

Välj nästa siffra i din lösning så att du kan multiplicera den med 132.300 och mindre från 739.000 av din återstod. Ett bra val skulle vara 5, eftersom 5*132.300=661.500. Skriv siffran 5 i nästa utrymme ovanför den radikala linjen.

Hitta 3 gånger föregående siffra ovanför den radikala linjen, 21, gånger den sista siffran du precis skrev ner, 5 gånger 10. Detta ger

3 * 21 * 5 * 10 = 3150

$3*21*5*10=3150$ .

Slutligen kvadrerar du den sista siffran. Detta är

52 = 25.

$5^{2}=25$

Lägg ihop din divisors termer och du får 132.300+3150+25=135.475.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 11

11. Multiplicera divisorn med resultatet. Efter att ha beräknat divisorn i nästa omgång och utökat din lösning med ytterligare en siffra, fortsätt enligt följande:

Multiplicera divisorn med den sista siffran i din lösning. 135.475*5=677.375.

subtrahera. 739.000-677.375=61.625.

Fundera på om lösningen 2.15 är tillräckligt exakt. Beräkna dess kub och du får

2, 15 * 2, 15 * 2, 15 = 9, 94

$2,15*2,15*2,15=9,94$ .

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 12

12. Skriv ner ditt slutliga svar. Resultatet ovanför radikalen är kubroten, med en noggrannhet av tre signifikanta siffror. I det här exemplet är kubroten av 10 lika med 2,15. Kontrollera detta genom att beräkna 2,15^3=9,94 som kan avrundas uppåt till 10. Om du behöver ett mer exakt svar, fortsätt tills du är nöjd.

Del 2 av 3: Hitta kubroten genom upprepad uppskattning

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 13

1. Använd kubiktal för att ställa in de övre och nedre gränserna. När du tillfrågas om en kubrot av ett visst tal, börja med att välja en kub som är så nära den som möjligt, utan att vara större än ditt målnummer.

Om du till exempel vill hitta kubroten av 600, kom ihåg (eller använd en tabell med kuber) att $83 = 512$ $8^{3}=512$ och $93 = 729$ $9^{3}=729$ . Därför kommer lösningen på kubroten av 600 att vara något mellan 8 och 9. Använd siffrorna 512 och 729 som övre och nedre gränser för din lösning.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 14

2. Gissa nästa nummer. Du kunde den första siffran på grund av din kunskap om vissa kubiktal. För nästa siffra, uppskatta ett tal mellan 0 och 9 baserat på var ditt målnummer hamnar mellan de två gränstalen.

I exempelproblemet faller 600 (ditt målnummer) ungefär halvvägs mellan gränstalen 512 och 729. Så välj din 5 som ditt nästa nummer.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 15

3. Testa din gissning genom att bestämma dess kub. Prova att multiplicera uppskattningen du arbetar med nu för att se hur nära du är måltalet.

I det här exemplet multiplicerar du

8, 5 * 8, 5 * 8, 5 = 614, 1.

$8,5*8,5*8,5=614,1$

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 16

4. Justera din uppskattning där det behövs. Efter att ha höjt till kuben för din sista gissning, kontrollera resultatet mot ditt målnummer. Om resultatet är större än målet bör din uppskattning vara mindre. Om resultatet är mindre än målet måste du justera det uppåt tills du når målet.

Till exempel, i detta problem,

8, 5 3

$8,5^{3}$ större än målet (600). Så du minskar uppskattningen till 8,4. Ta kuben av detta nummer och jämför det med ditt mål. du kommer att se det

8, 4 * 8, 4 * 8, 4 = 592, 7

$8,4*8,4*8,4=592,7$ . Detta är nu lägre än ditt mål. Detta talar om att kubroten av 600 måste vara minst 8,4, men mindre än 8,5.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 17

5. Beräkna nästa nummer för ett mer exakt svar. Fortsätt denna procedur med att uppskatta siffror från 0 till 9, tills ditt svar är så exakt som du vill att det ska vara. För varje uppskattningsrunda, börja med att kontrollera positionen för din senaste beräkning mellan gränstalen.

I det här exempelproblemet visar din senaste omgång av beräkningar det

8, 4 3 = 592, 7

$8,4^{3}=592,7$ , medan

8, 5 3 = 614, 1

$8,5^{3}=614,1$ . Målet (600) är något närmare 592 än 614. Så uppskattar du nästa tal lite mindre än halvvägs mellan 0 och 9. Ett bra val är 4, vilket ger dig en uppskattning av kubroten på 8,44.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 18

6. Fortsätt att uppskatta och justera Gör detta så många gånger som behövs, höj din uppskattning till kuben och se hur den står sig i förhållande till målnumret. Leta efter siffror som är strax under eller strax över målnumret.

För detta exempelproblem, börja med att notera det

8, 44 * 8, 44 * 8, 44 = 601, 2

$8,44*8,44*8,44=601,2$ . Detta är precis ovanför målet, så släpp några och testa 8.43. Detta ger

8, 43 * 8, 43 * 8, 43 = 599, 07

$8,43*8,43*8,43=599,07$ som resultat. Så du vet att kubroten av 600 är lite mer än 8,43 och lite mindre än 8,44.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 19

7. Fortsätt tills du når önskad noggrannhet. Fortsätt att uppskatta, jämföra och omvärdera, så länge det är nödvändigt, tills din lösning är så exakt som du vill att den ska vara. Observera att med varje decimal kommer dina målnummer närmare och närmare det faktiska numret.

För exemplet med kubroten av 600, om man antar två decimaltal, är 8,43 mindre än 1 från målnumret. Om du fortsätter till tre siffror efter decimaltecknet kommer du att se det

8, 434 3 = 599, 93

$8,434^{3}=599,93$ om resultatet är 0,1 mindre än det faktiska svaret.

Del 3 av 3: Förstå hur denna beräkning fungerar

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 20

1. Gå över Newtons binomial igen. För att förstå varför denna algoritm fungerar för att bestämma kubrötter måste du först tänka tillbaka på hur kuben ser ut som binomial. Du har förmodligen lärt dig detta i gymnasiets matematik (och som de flesta har du förmodligen glömt det ganska snabbt). Välj två variabler

a

$a$ och

B

$B$ för att representera enheter. Sedan räknar du ut binomialen för

(10 a + B)

$(10A+B)$ för tiotalet.

Använd termen $10 a$ $10A$ att skapa ett dussin. Oavsett vilket betyg du väljer $a$ $a$ , $10 a$ $10A$ kommer att bilda ett dussin. Till exempel om $a$ $a$ är 2 och $B$ $B$ är 6, blir då $(10 a + B)$ $(10A+B)$ lika med 26.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 21

2. Skriv binomialet i en kub. Vi arbetar nu baklänges, genom att först bestämma kuben och sedan se varför kubrotslösningen fungerar. Vi behöver värderingarna av

(10 a + B) 3

$(10A+B)^{3}$ hitta. Du gör detta genom att träna

(10 a + B) * (10 a + B) * (10 a + B)

$(10A+B)*(10A+B)*(10A+B)$ . Detta är en för lång beräkning för att visa här, men slutresultatet är det

1000 a 3 + 300 a^{2} B + 30 a B^{2} + B^{3}

$1000A^{3}+300A^{2}B+30AB^{2}+B^{3}$ .

För att lära dig mer om Newtons binomial och få det här resultatet, läs mer om att multiplicera binomialer på wikiHow. Om du vill ha en mer djupgående, snabb version, läs mer om Pascals Triangel.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 22

3. Vet innebörden av lång division. Observera att metoden för att beräkna kubroten fungerar precis som långdivision. I långdivision ser du att två faktorer multiplicerat med varandra, ge talet du började med. I den här beräkningen är talet du letar efter (talet som hamnar ovanför radikalen) kubroten. Det betyder att den är lika med termen (10A+B). De faktiska A och B är irrelevanta nu, så länge du förstår sambandet med svaret.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 23

4. Se den utökade versionen. När du tittar på Newtons binomial ser du varför kubrotalgoritmen är korrekt. Se hur divisorn i varje steg i algoritmen är lika med summan av de fyra termerna du behöver för att beräkna och lägga ihop. Dessa villkor uppstår enligt följande:

Den första termen innehåller en plural av 1000. Du väljer först ett tal som kan höjas till kuben och fortfarande hålla sig inom intervallet för lång division som första siffra. Detta ger termen 1000A^3 i binomialen.

Den andra termen i Newtons binomial har en koefficient på 300. (Detta är från

3 * 10 2

$3*10^{2}$ .) Kom ihåg att vid beräkning av kubroten multiplicerades den första siffran i varje steg med 0300.

Den andra siffran i varje steg i kubrotsberäkningen kommer från den tredje termen i Newtons binomial. I Newtons binomial ser du termen 30AB^2.

Den sista siffran i varje steg är termen B^3.

Bild med titeln Beräkna kubrot för hand Steg 24

5. Titta på Accuracy Grow. Genom att träna lång division ger varje steg du slutför stor noggrannhet i ditt svar. Exempelproblemet som utvecklas i den här artikeln är för att bestämma kubroten av 10. I det första steget är lösningen 2, eftersom

23

$2^{3}$ kommer nära, men är mindre än 10. Faktiskt,

23 = 8

$2^{3}=8$ . Efter den andra omgången är din lösning 2.1. När du har löst det här kommer du att få

2, 1 3 = 9, 261

$2,1^{3}=9,261$ , och det är mycket närmare det önskade resultatet (10). Efter tredje omgången har du 2,15, och det ger dig

2, 15 3 = 9, 94

$2,15^{3}=9,94$ . Fortsätt arbeta i grupper om tre siffror så får du ett så exakt svar som du vill.

Tips

Som allt annat kommer dina matematiska färdigheter att förbättras med träning. Ju mer du övar, desto bättre kommer du att kunna göra den här typen av beräkningar.