Verifiera osäkerhetsprincipen för en kvantharmonisk oscillator

Steg
Tips

Kvantharmonisk oscillator är kvantanalogin av den klassiska enkla harmoniska oscillatorn. Med hjälp av grundtillståndslösningen tar vi position och förväntade impulsvärden och kontrollerar osäkerhetsprincipen med den.

Steg

Del 1 av 3: En grundtillståndslösning

1. Kom ihåg Schrödinger-ekvationen. Denna partiella differentialekvation är den grundläggande rörelseekvationen inom kvantmekaniken, som beskriver hur ett kvanttillstånd

ψ

$psi$ utvecklas över tiden.

\hat{va}

${hat{H}}$ betecknar Hamiltonian, energioperatören som beskriver den totala energin i ett system.

$i ℏ \partial ψ \partial t = \hat{va} ψ$ $ihbar {frac{partial psi }{partial t}}={hat{H}}psi$

2. Skriv ut Hamiltonian för den harmoniska oscillatorn. Även om positions- och momentumvariablerna har ersatts av deras motsvarande operatorer, liknar uttrycket fortfarande det för kinetiska och potentiella energin hos en klassisk harmonisk oscillator. Eftersom vi arbetar i fysiskt utrymme ges operatörspositionen av

\hat{X} = X,

${hat{x}}=x,$ medan impulsoperatören ges av

\hat{sid} = - i ℏ \partial \partial X .

${hat{p}}=-ihbar {frac{partial }{partial x}}$

\hat{va} = \hat{sid} 2 2 m + \frac{1}{2} m Ω^{2}^{\hat{X} 2}

${hat{H}}={frac{{hat{p}}^{{2}}}{2m}}+{frac{1}{2}}momega ^{{2}} {hat{x}}^{{2}}$

3. Skriv ut den tidsoberoende Schrödinger-ekvationen. Vi ser att Hamiltonian inte är explicit beroende av tid, så lösningarna av ekvationen kommer att vara oföränderliga tillstånd. Den tidsoberoende Schrödinger-ekvationen är en ekvation för egenvärdet, så att lösa den innebär att vi hittar energiegenvärdena och deras motsvarande egenfunktioner -- vågfunktionerna --.

- ℏ 2 2 m d 2 ψ d X^{2} + \frac{1}{2} m Ω^{2} X^{2} ψ = E ψ

$-{frac{hbar ^{{2}}}{2m}}{frac{{mathrm{d}}^{{2}}psi }{{mathrm{d}}x^{{ 2}}}}+{frac{1}{2}}momega ^{{2}}x^{{2}}psi =Epsi$

4. Lös differentialekvationen. Denna differentialekvation har variabla koefficienter och kan inte enkelt lösas med enkla metoder. Men efter normalisering kan grundtillståndslösningen skrivas som:. Kom ihåg att denna lösning endast beskriver en endimensionell oscillator.

ψ (X) = (m Ω π ℏ) 1 / 4 \exp (- m Ω 2 ℏ X^{2})

$psi (x)=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/4}}exp left(-{frac{momega }{ 2hbar }}x^{{2}}höger)$

Detta är en Gauss, centrerad på

X = 0.

$x=0$ Vi utnyttjar det faktum att denna funktion till och med är till för att förenkla våra beräkningar i nästa del.

Del 2 av 3: Förväntningsvärden

1. Kom ihåg formeln för osäkerhet. Osäkerheten för ett observerbart värde såsom en position är matematiskt lika med standardavvikelsen. Det vill säga, vi bestämmer medelvärdet, subtraherar varje värde från medelvärdet, kvadrerar dessa värden och beräknar medelvärdet och subtraherar sedan kvadratroten av resultatet.

$Σ X = \sqrt{sex X} 2 sex - sex X {sex}^{2}$ $sigma _{{x}}={sqrt{langle x^{{2}}rangle -langle xrangle ^{{2}}}}$

2. Bestämma sexXsex{displaystyle langle xrangle } $langle xrangle$ . Eftersom funktionen är jämn kan vi från symmetrin härleda att

sex X sex = 0.

$lang xrangle =0$

Om du skriver ut integralen som du var tvungen att utvärdera ser du att integranden är en udda funktion, eftersom en udda funktion gånger en jämn funktion är udda.

sex X sex = \int - \infty \infty X | ψ (X) |^{2} d X

$langle xrangle =int _{{-infty }}^{{infty }}x|psi (x)|^{{2}}{mathrm{d}}x$

En egenskap hos en udda funktion är att för varje positivt värde av funktionen finns det en dubbelgångare - ett associerat negativt värde - som tar bort funktionen. Eftersom vi har alla värderingar av

X

$X$ utvärdera vet vi att integralen blir 0, utan att behöva göra beräkningarna.

3. Beräkna sexX2sex{displaystyle langle x^{2}rangle } $langle x^{{2}}rangle$ . Eftersom vår lösning är skriven som en kontinuerlig vågfunktion använder vi integralen nedan. Integralen beskriver förväntat värde för

X 2

$x^{{2}}$ , integrerad över hela utrymmet.

sex X 2 sex = \int_{- \infty}^{\infty} X^{2} | ψ (X) |^{2} d X

$langle x^{{2}}rangle =int _{{-infty }}^{{infty }}x^{{2}}|psi (x)|^{{2}}{ mathrm{d}}x$

4. Byt ut vågfunktionen i integralen och förenkla. Vi vet att vågfunktionen är jämn. Kvadraten för en jämn funktion är också jämn, så vi kan ta faktorn 2 utanför parentesen och sänka den nedre gränsen till 0.

sex X 2 sex = 2 (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} \int_{0}^{\infty} X^{2} \exp (- m Ω ℏ X^{2}) d X

$langle x^{{2}}rangle =2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}int _{{0}} ^{{infty }}x^{{2}}exp left(-{frac{momega }{hbar }}x^{{2}}right){mathrm{d}} X$

5. Utvärdera. Var den första att

α = m Ω ℏ .

$alpha ={frac{momega }{hbar }}$ Då integrerar vi inte per del, utan vi använder gammafunktionen.

\begin{matrix} sex X \end{matrix} 2 sex = 2 (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} \int_{0}^{\infty} X^{2} e^{- α} X^{2} d X, du = α X^{2} = 2 (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} \int_{0}^{\infty} \frac{du}{α} e^{- du} d du 1 2 α X, X = \sqrt{\frac{du}{α}} = (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} α^{- 3 / 2} \int_{0}^{\infty} {du}^{1 / 2} e^{- du} d du = (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} (^{m Ω ℏ) - 3 / 2} Γ (\frac{3}{2}), Γ (\frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{π}}{2} = ℏ m Ω \frac{1}{\sqrt{π}} \frac{\sqrt{π}}{2} = ℏ 2 m Ω

${begin{aligned}langle x^{{2}}rangle &=2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}} int _{{0}}^{{infty }}x^{{2}}e^{{-alpha x^{{2}}}}{mathrm{d}}x, u =alpha x^{{2}}\&=2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}int _{{ 0}}^{{infty }}{frac{u}{alpha }}e^{{-u}}{mathrm{d}}u{frac{1}{2alpha x}} , x={sqrt{{frac{u}{alpha }}}}\&=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{ {1/2}}alpha ^{{-3/2}}int _{{0}}^{{infty }}u^{{1/2}}e^{{-u}}{ mathrm{d}}u\&=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}left({frac{m omega }{hbar }}right)^{{-3/2}}Gamma left({frac{3}{2}}right), \Gamma left({frac{3 }{2}}right)={frac{{sqrt{pi }}}{2}}\&={frac{hbar }{momega }}{frac{1} {{sqrt{pi }}}}{frac{{sqrt{pi }}}{2}}\&={frac{hbar }{2momega }}end{aligned }}$

6. Kom fram till osäkerheten i position. Med hjälp av relationen vi arbetade fram i steg 1 i det här avsnittet, följer det

Σ X

$sigma _{{x}}$ omedelbart från våra resultat.

Σ X = \sqrt{ℏ} 2 m Ω

$sigma _{{x}}={sqrt{{frac{hbar }{2momega }}}}$

7. Bestämma sexsidsex{displaystyle langle prangle } $lång prangel$ . Som med medelpositionen kan ett symmetriargument göras, vilket leder till

sex sid sex = 0.

$langprangle =0$ .

8. Beräkna sexsid2sex{displaystyle langle p^{2}rangle } $langle p^{{2}}rangle$ . Istället för att direkt tillämpa vågfunktionen för att beräkna detta förväntade värde, kan vi använda vågfunktionens energi för att förenkla de nödvändiga beräkningarna. Grundtillståndsenergin för den harmoniska oscillatorn ges nedan.

E 0 = \frac{1}{2} ℏ Ω

$E_{{0}}={frac{1}{2}}hbar omega$

9. Relatera energin i grundtillståndet med partikelns kinetiska och potentiella energi. Det förväntas att detta förhållande inte bara gäller för varje position och impuls, utan också för deras förväntningsvärden.

\frac{1}{2} ℏ Ω = sex sid 2 sex 2 m + \frac{1}{2} m Ω^{2} sex X^{2} sex

${frac{1}{2}}hbar omega ={frac{langle p^{{2}}rangle }{2m}}+{frac{1}{2}}momega ^ {{2}}langle x^{{2}}rangle$

10. Lösa åt sexsid2sex{displaystyle langle p^{2}rangle } $langle p^{{2}}rangle$ .

m ℏ Ω = sex sid 2 sex + m^{2} Ω^{2} ℏ 2 m Ω

$mhbar omega =langle p^{{2}}rangle +m^{{2}}omega ^{{2}}{frac{hbar }{2momega }}$

sex sid 2 sex = m ℏ Ω 2

$langle p^{{2}}rangle ={frac{mhbar omega }{2}}$

11. Kom fram till osäkerheten i dynamiken.

Σ sid = \sqrt{} m ℏ Ω 2

$sigma _{{p}}={sqrt{{frac{mhbar omega }{2}}}}$

Del 3 av 3: Verifiering av osäkerhetssambandet

1. Tänk på Heisenbergs osäkerhetsprincip för position och momentum. Osäkerhetsrelationen är en grundläggande gräns för precisionen med vilken vi kan mäta vissa par observerbara data, såsom position och momentum. Kolla in tipsen för mer bakgrund om osäkerhetsprincipen.

$Σ X Σ_{sid} \geq \frac{ℏ}{2}$ $sigma _{{x}}sigma _{{p}}geq {frac{hbar }{2}}$

2. Ersätt osäkerheterna för den kvantharmoniska oscillatorn.

\begin{matrix}  \end{matrix} \sqrt{ℏ} 2 m Ω \sqrt{} m ℏ Ω 2 \geq \frac{ℏ}{2} \frac{ℏ}{2} & \geq \frac{ℏ}{2}

${begin{aligned}{sqrt{{frac{hbar }{2momega }}}}{sqrt{{frac{mhbar omega }{2}}}}&geq { frac{hbar }{2}}\{frac{hbar }{2}}&geq {frac{hbar }{2}}end{aligned}}$

Våra resultat är i linje med osäkerhetsprincipen. Faktum är att detta förhållande endast uppnår grundtillståndslikhet – om man antar ett högre energitillstånd, ökar osäkerheten om position och momentum bara.

Tips

Det finns två sätt på vilka vi kan förklara frågan om varför osäkerhetssambandet existerar.

Från vågmekaniken är vågfunktionens uttryck i termer av position och dynamik Fouriertransformer av varandra. En egenskap hos Fouriertransformen är att en funktion och dess Fouriertransform inte båda är entydigt lokaliserade.
Ett enkelt exempel är Fouriertransformen av den rektangulära funktionen. När funktionens bredd minskar (blir mer lokaliserad) blir Fouriertransformen (en sinuskurva) plattare och plattare. Ett extremt exempel är Dirac delta-funktionen, där bredden är oändligt liten (perfekt lokalitet). Fouriertransformen är en konstant (oändlig osäkerhet).
Det andra sättet att se på det är från matrismekanik. Positions- och momentumoperatorerna har en kommuteringsrelation som inte är noll. Om två operatorer pendlar, så skulle deras kommuteringsrelation vara noll, vilket indikeras av parentesen nedan.

$[\hat{X}, \hat{sid}] = \hat{X} \hat{sid} - \hat{sid} \hat{X} = i ℏ$ $[{hat{x}},{hat{p}}]={hat{x}}{hat{p}}-{hat{p}}{hat{x}}=i hbar$

Det visar sig att denna kommuteringsrelation måste innebära en grundläggande osäkerhetsprincip. När en operatör

\hat{X}

${hat{x}}$ verkar på ett tillstånd, då kollapsar vågfunktionen till egentillståndet för

\hat{X}

${hat{x}}$ med ett unikt mått (egenvärdet). Men egentillståndet för

\hat{X}

${hat{x}}$ behöver inte vara ett egentillstånd för en annan operator

\hat{sid} .

${hat{p}}$ Om så är fallet finns det inget unikt mått på de observerbara data

sid,

$p,$ vilket innebär att tillståndet endast kan skrivas som en linjär kombination av momentumbaserade egentillstånd. (När två operatorer pendlar har de en samtidig uppsättning egentillstånd gemensamma (även kallad degeneration) och de två observerbara data kan mätas samtidigt med en godtycklig precision. Detta är alltid fallet med klassisk mekanik.)

Detta är källan till osäkerhetsprincipen. Det är inte på grund av våra instruments begränsningar som vi inte kan mäta positionen och rörelsemängden för en partikel med en godtycklig precision. Snarare är det en grundläggande egenskap hos partiklarna själva.