Lär dig att dela kvadrater: 8 steg

Steg
Tips

En av de viktigaste färdigheterna för matematikelever är abc-formeln, eller $X = - b \pm \sqrt{b} 2 - 4 a c 2 a .$ $x={frac{-bpm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$ Använd abc-formeln för att lösa en andragradsekvation av formen $a X 2 + b X + c = 0$ $ax^{{2}}+bx+c=0$ en enkel fråga om att ersätta koefficienterna $a, b, c$ $ABC$ i formeln. Även om det ofta räcker för många att bara känna till formeln, är det det att förstå hur det härstammar (med andra ord var det kommer ifrån) något helt annat. Formeln härleds via `kvadrat av` som också har andra tillämpningar inom matematik, så det är klokt att du är bekant med det.

Steg

1. Börja med standardformen för en allmän andragradsekvation. Även om någon jämförelse med en term som

X 2

$x^{{2}}$ i, är kvadratisk, ställer standardformen allt till noll. Kom ihåg det

a, b, c

$ABC$ är koefficienter som kan vara vilket heltal som helst, så nu kan du inte fylla i siffror för variablerna - vi vill arbeta med den allmänna formen.

$a X 2 + b X + c = 0$ $ax^{{2}}+bx+c=0$
Det enda villkoret är det $a \neq 0$ $aneq 0$ , annars förenklas ekvationen till en linjär ekvation. Se om du kan hitta generella lösningar för speciella fall där $b = 0$ $b=0$ och $c = 0$ $c=0$ .

2. dra c{displaystyle c} $c$ av från båda sidor. Vårt mål är att isolera

X

$X$ . Vi börjar med att flytta en av koefficienterna till andra sidan så att den vänstra sidan endast består av termer med

X

$X$ .

a X 2 + b X = - c

$ax^{{2}}+bx=-c$

3. Dela båda sidorna a{displaystyle a} $a$ . Observera att vi kunde ha bytt ut dessa i föregående steg och fortfarande få samma svar. Kom ihåg att att dividera ett polynom med något innebär att dela var och en av dess individuella termer. Detta gör det lättare att dela upp kvadraten.

X 2 + \frac{b}{a} X = - c a

$x^{{2}}+{frac{b}{a}}x={frac{-c}{a}}$

4.Dela kvadraten. Kom ihåg att målet är att skapa ett uttryck

X 2 + 2 ◻ X + ◻^{2}

$x^{{2}}+2Box x+Box ^{{2}}$ att skriva om som

(X + ◻) 2,

$(x+Box )^{{2}},$ varigenom

◻

$Låda$ är en koefficient. Detta kanske inte är direkt klart för dig. För att göra det tydligare, skriv om

\frac{b}{a} X

${frac{b}{a}}x$ om

2 b 2 a X

$2{frac{b}{2a}}x$ genom att multiplicera termen med

\frac{2}{2} .

${frac{2}{2}}$ Vi kan göra detta eftersom att multiplicera med 1 inte förändrar någonting. Det kan vi nu tydligt se i vårt fall

◻ = b 2 a,

$Box ={frac{b}{2a}},$ , så det är bara termen som saknas

◻ 2

$Box ^{{2}}$ . Således, för att dela upp torget, lägger vi till den på båda sidor - nämligen,

(b 2 a) 2 = b 2 4 a 2 .

$left({frac{b}{2a}}right)^{{2}}={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}$ Och då kan vi såklart faktorisera.

\begin{matrix} X \end{matrix} 2 + 2 b 2 a X + b 2 4 a 2 = b 2 4 a 2 - \frac{c}{a} (^{X + b 2 a) 2} & = b 2 4 a 2 - \frac{c}{a}

${begin{aligned}x^{{2}}+2{frac{b}{2a}}x+{frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}& ={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{frac{c}{a}}\left(x+{frac{b}{2a}} right)^{{2}}&={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{frac{c}{a}}end{aligned} }$

Det är tydligt här varför

a \neq 0

$aneq 0$ , eftersom

a

$a$ är i nämnaren och du kan inte dividera med noll.

Om du behöver kan du förlänga den vänstra sidan för att se till att kvadreringen fungerar.

5. Skriv höger sida under en gemensam nämnare. Vi vill att båda nämnarna ska vara

4 a 2

$4a^{{2}}$ är, så multiplicera termen

- c a

${frac{-c}{a}}$ av

4 a 4 a

${frac{4a}{4a}}$ .

\begin{matrix}  \end{matrix} (X + b 2 a) 2 = b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2

${begin{aligned}left(x+{frac{b}{2a}}right)^{{2}}&={frac{b^{{2}}}{4a^{{2 }}}}-{frac{4ac}{4a^{{2}}}}\&={frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}} end{aligned}}$

6. Beräkna kvadratroten från båda sidorna. Det är dock viktigt att du förstår att du genom att göra detta i huvudsak tar två steg. När du tar kvadratroten av

d 2

$d^{{2}}$ , då får du

d

$d$ inte. Du får i princip det absoluta värdet av det,

| d |

$|d|$ . Detta absoluta värde är grundläggande för att få båda rötterna - att helt enkelt placera kvadratrötter ovanför båda sidorna ger bara en av rötterna.

| X + b 2 a | = \sqrt{} b 2 - 4 a c 4 a 2

$left|x+{frac{b}{2a}}right|={sqrt{{frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}}$

Nu kan vi bli av med absolutvärdetecknen, genom

\pm

$p.m$ att placera till höger. Vi kan göra detta eftersom det absoluta värdet inte skiljer mellan positiva och negativa tal, så de är båda giltiga. Denna detalj är anledningen till att andragradsekvationen gör det möjligt att få två rötter som ett resultat.

X + b 2 a = \pm \sqrt{} b 2 - 4 a c 4 a 2

$x+{frac{b}{2a}}=pm {sqrt{{frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}}$

Låt oss förenkla detta uttryck lite mer. Eftersom kvadratroten ur en kvot är kvoten av kvadratrötterna, kan vi skriva den högra sidan som

\pm \sqrt{b} 2 - 4 a c \sqrt{4 a^{2}} .

${frac{pm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{{sqrt{4a^{{2}}}}}}$ Då kan vi ta kvadratroten av nämnaren.

X + b 2 a = \pm \sqrt{b} 2 - 4 a c 2 a

$x+{frac{b}{2a}}={frac{pm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

7. isolera X{displaystyle x} $X$ genom att subtrahera

b2a{displaystyle {frac {b}{2a}}} ${frac{b}{2a}}$ på båda sidor.

X = - b 2 a \pm \sqrt{b} 2 - 4 a c 2 a

$x={frac{-b}{2a}}pm {frac{{sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

8. Skriv höger sida under en gemensam nämnare. Detta är inte som abc-formeln, formeln för att lösa en andragradsekvation i standardform. Detta fungerar för alla

a, b, c

$ABC$ och ger

X

$X$ som ett resultat, vilket kan vara ett reellt eller komplext tal. För att verifiera att denna process fungerar, följ helt enkelt stegen i den här artikeln i omvänd ordning för att återgå till standardformuläret.

X = - b \pm \sqrt{b} 2 - 4 a c 2 a

$x={frac{-bpm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

Tips

Det är intressant att notera att abc-formeln också gäller för komplexa koefficienter, även om du måste förenkla lite mer för att få det slutgiltiga svaret, och rötterna är inte konjugerade par. Problem med kvadratiska uttryck ges dock nästan alltid med reella koefficienter.