Beräkna Fibonacci-sekvensen (med bilder)

Steg
- Metod 1 av 2: Använd en tabell
- Metod 2 av 2: Använd Binets formel och den gyllene medelvägen

Fibonacci-sekvensen är en sekvens av tal som genereras genom att lägga till de två föregående talen i sekvensen. Siffrorna i serien ses ofta i naturen och i konsten, som spiraler och det gyllene snittet. Det enklaste sättet att beräkna serien är att förbereda en tabell; detta är dock inte praktiskt om du letar efter den 100:e termen i sekvensen, till exempel, i så fall använder du Binets formel.

Steg

Metod 1 av 2: Använd en tabell

1. Skapa en tabell med två kolumner. Antalet rader beror på antalet nummer i Fibonacci-sekvensen du vill beräkna.

Till exempel, om du vill hitta det femte numret i sekvensen, kommer din tabell att ha fem rader.
Med den här tabellmetoden är det inte möjligt att hitta något nummer längre ner i sekvensen utan att först beräkna alla siffror före det. Till exempel, om du vill hitta det 100:e numret i sekvensen, måste du först hitta de första 99 numren. Därför fungerar tabellmetoden bara för siffror i början av sekvensen.

Bild med titeln Beräkna Fibonacci-sekvensen Steg 2

2. Ange nummerföljden i den vänstra kolumnen. Detta innebär att du fyller i en sekvens av på varandra följande ordningstal, med början med "1:a."

Termen syftar på numrets position i Fibonacci-sekvensen.

Till exempel, om du vill beräkna det femte talet i sekvensen, skulle du skriva 1:a, 2:a, 3:e, 4:e, 5:e ner i den vänstra kolumnen. Detta hjälper dig att identifiera de första fem termerna i sekvensen.

Bild med titeln Beräkna Fibonacci-sekvensen Steg 3

3. Sätt 1 i den första raden i den högra kolumnen. Detta är startpunkten för Fibonacci-sekvensen. Med andra ord, den första termen i sekvensen är 1.

Den korrekta Fibonacci-sekvensen börjar alltid med 1. Om du vill börja med ett annat nummer hittar du inte det korrekta mönstret för Fibonacci-sekvensen.

Bild med titeln Beräkna Fibonacci-sekvensen Steg 4

4. Räkna den första termen (1) och 0. tillsammans på. Detta ger dig det andra numret i sekvensen.

Kom ihåg att för att hitta ett givet nummer av Fibonacci-sekvensen behöver du bara lägga till de två föregående talen tillsammans.

För att skapa sekvensen kommer 0 före 1 (den första termen), så: 1 + 0 = 1.

Bild med titeln Beräkna Fibonacci-sekvensen Steg 5

5. Lägg till den första termen (1) och den andra termen (1) tillsammans. Detta ger dig det tredje numret i sekvensen.

1 + 1 = 2. Den tredje terminen är 2.

Bild med titeln Beräkna Fibonacci-sekvensen Steg 6

6. Lägg till den andra termen (1) och den tredje termen (2) för att få den fjärde siffran i sekvensen.

1 + 2 = 3. Den fjärde terminen är 3.

Bild med titeln Beräkna Fibonacci-sekvensen Steg 7

7. Lägg till den tredje termen (2) och den fjärde termen (3) tillsammans. Nu vet du den femte siffran i sekvensen.

2 + 3 = 5. Den femte terminen är 5.

Bild med titeln Beräkna Fibonacci-sekvensen Steg 8

8. Lägg ihop de två föregående talen för att hitta ett givet tal i Fibonacci-sekvensen. Om du använder den här metoden använder du formeln

f n = f_{n - 1} + f_{n - 2}

$F_{{n}}=F_{{n-1}}+F_{{n-2}}$ . Eftersom detta inte är en sluten formel, kan du inte använda den för att beräkna varje term i serien utan att först beräkna alla föregående siffror.

Metod 2 av 2: Använd Binets formel och den gyllene medelvägen

Bild med titeln Beräkna Fibonacci-sekvensen Steg 9

1. Skriv ner formeln:

X n

$x_{{n}}$ =

φ n - (1 - φ)^{n} \sqrt{5}

${frac{phi ^{{n}}-(1-phi )^{{n}}}{{sqrt{5}}}}$ . I formeln,

X n

$x_{{n}}$ = termen i sekvensen du försöker hitta,

n

$n$ = positionsnumret för termen i serien, och

φ

$phi$ = det gyllene snittet.

Detta är en sluten formel, så du kan beräkna en specifik term i serien utan att behöva beräkna alla tidigare.
Denna formel är en förenklad formel som kommer från Binets Fibonacci-formel.
Formeln tillämpar det gyllene snittet ( $φ$ $phi$ ), eftersom förhållandet mellan två på varandra följande tal i Fibonacci-sekvensen är mycket likt det gyllene snittet.

Bild med titeln Beräkna Fibonacci-sekvensen Steg 10

2. Justera numret för n{displaystyle n} $n$ tillämpa på formeln. De

n

$n$ representerar termen du letar efter i sekvensen.

Om du till exempel letar efter det femte numret i sekvensen anger du 5. Din formel bör nu se ut så här:

X 5

$x_{{5}}$ =

φ 5 - (1 - φ)^{5} \sqrt{5}

${frac{phi ^{{5}}-(1-phi )^{{5}}}{{sqrt{5}}}}$ .

Bild med titeln Beräkna Fibonacci-sekvensen Steg 11

3. Ersätt det gyllene snittet i formeln. Använd 1,618034 som en uppskattning av det gyllene snittet.

Om du till exempel söker efter det femte numret i sekvensen, skulle formeln du angav se ut så här:

X 5

$x_{{5}}$ =

(1, 618034) 5 - (1 - 1, 618034)^{5} \sqrt{5}

${frac{(1.618034)^{{5}}-(1-1,618034)^{{5}}}{{sqrt{5}}}}$ .

Bild med titeln Beräkna Fibonacci-sekvensen Steg 12

4. Gör beräkningarna inom parentes. Betrakta ordningen för aritmetiska operationer genom att först beräkna delen inom parentes:

1 - 1, 618034 = - 0, 618034

$1-1,618034=-0,618034$ .

I exemplet blir ekvationen

X 5

$x_{{5}}$ =

(1, 618034) 5 - (- 0, 618034)^{5} \sqrt{5}

${frac{(1.618034)^{{5}}-(-0.618034)^{{5}}}{{sqrt{5}}}}$ .

Bild med titeln Beräkna Fibonacci-sekvensen Steg 13

5. Beräkna exponenterna. Multiplicera de två talen inom parentes i täljaren med lämplig exponent.

I exemplet,

1, 618034 5 = 11, 090170

$1,618034^{{5}}=11,090170$ ;

- 0, 618034 5 = - 0, 090169

$-0,618034^{{5}}=-0,090169$ . Så blir ekvationen

X 5 = 11, 090170 - (- 0, 090169) \sqrt{5}

$x_{{5}}={frac{11,090170-(-0.090169)}{{sqrt{5}}}}$ .

Bild med titeln Beräkna Fibonacci-sekvensen Steg 14

6. Slutför beräkningen. Innan du fortsätter dividera måste du först subtrahera de två talen i täljaren.

I exemplet,

11, 090170 - (- 0, 090169) = 11, 180339

$11,090170-(-0,090169)=11,180339$ , så blir ekvationen

X 5

$x_{{5}}$ =

11, 180339 \sqrt{5}

${frac{11,180339}{{sqrt{5}}}}$ .

Bild med titeln Beräkna Fibonacci-sekvensen Steg 15

7. Dividera med kvadratroten ur fem. Kvadratroten ur fem avrundas till 2,236067.

I exempeluppgiften,

11, 180339 2, 236067 = 5, 000002

${frac{11,180339}{2,236067}}=5,000002$ .

Bild med titeln Beräkna Fibonacci-sekvensen Steg 16

8. Avrunda till närmaste heltal. Ditt svar är ett decimaltal, men är mycket nära ett heltal. Detta heltal representerar talet i Fibonacci-sekvensen.

Om du har använt hela det gyllene snittet och inte har avrundat något får du ett heltal. Det är dock mer praktiskt att avrunda, vilket resulterar i en decimal.

I exemplet blir ditt svar, beräknat med en miniräknare, cirka 5 000 002. Avrundat till närmaste heltal blir ditt svar fem, vilket också blir det femte talet i Fibonacci-sekvensen.