Hitta inversen av en andragradsekvation

Omvända funktioner kan vara till stor hjälp för att lösa många matematiska problem. Att kunna ta en funktion och hitta dess inversa funktion är ett kraftfullt verktyg. Men med andragradsekvationer kan detta vara en ganska komplicerad process. Först måste du noggrant definiera ekvationen genom att bestämma en lämplig domän och intervall. Du kan sedan välja mellan tre metoder för att beräkna den inversa funktionen. Valet av metod är främst en fråga om personlig preferens.

Steg

Metod 1 av 3: Hitta inversen av en enkel funktion

1. Hitta en funktion i form av $$y=aX2+c{displaystyle y=ax^{2}+c}. Om du har "rätt" typ av funktion att börja med, kan du hitta inversen med någon enkel algebra. Denna form är en sorts variation på $y=a{X}^{}$. Om man jämför detta med en vanlig kvadratisk funktion, $y=a{X}^{}$, se att mellantermen $bX$ saknas. Ett annat sätt att säga detta är att värdet på b är noll. Om din funktion har denna form är det ganska lätt att hitta inversen.

• Din startfunktion behöver inte se ut exakt som $y=a{X}^{}$. Så länge du kan titta på det och se att funktionen bara består av $X^{}$ termer och konstanta tal, kommer du att kunna använda denna metod.
• Anta att du börjar med ekvationen $2y-6+X^{}$. En snabb undersökning av denna ekvation visar att det inte finns några termer för $X$ att vara till första makten. Denna ekvation är en kandidat för denna metod för att hitta en invers funktion.

2. Förenkla genom att kombinera liknande termer. Den initiala ekvationen kan ha flera termer i en kombination av addition och subtraktion. Ditt första steg är att kombinera liknande termer för att förenkla ekvationen och skriva om den i standardformatet $y=a{X}^{}$.

Ta exempeljämförelsen $2y-6+X^{}$, där y-termerna kan flyttas åt vänster genom att subtrahera ett y från båda sidor. De andra termerna kan flyttas till höger sida genom att lägga till 6 på båda sidor och $X^{}$ att dra av från båda sidor. Den resulterande ekvationen är $y=2X^{}$.

Se exempeljämförelsen $y=2X^{}$. Det finns ingen begränsning för de tillåtna värdena för x för denna ekvation. Du måste dock inse att detta är ekvationen för en parabel, med x=0 som centrum, och en parabel är inte en funktion eftersom det inte är en en-till-en jämförelse av x- och y-värden. För att begränsa denna ekvation och göra den till en funktion, för vilken vi kan hitta en invers, måste vi definiera domänen som x≥0.

Utbudet är begränsat på samma sätt. Observera att den första termen, $2X^{}$, kommer alltid att vara positiv eller 0, för valfritt värde på x. Om ekvationen sedan adderar +2, kommer intervallet att vara vilket värde som helst y≥2.

Arbetar med exempeljämförelsen $y=2X^{}$, detta inversionssteg kommer att resultera i den nya ekvationen av $X=2y^{}$.

Ett alternativt format är att ersätta y-termerna med x, men ersätta x-termerna med någondera $y^{}$ eller $f(X{)}^{}$ för att indikera den inversa funktionen.

5. Skriv om den omvända ekvationen i termer av y. Genom att använda en kombination av algebraiska steg och se till att samma operation utförs på båda sidor av ekvationen, måste du isolera variabeln y. För jämförelsen $X=2y^{}$, denna version ser ut så här:

$X=2y^{}$ (ursprunglig premiss)

$X-2=2y^{}$ (subtrahera 2 från båda sidor)

$$ (diva båda sidor med 2)

±$$ (kvadratroten från båda sidor; kom ihåg att kvadratroten resulterar i både positiva och negativa möjliga svar)

Se lösningen av exempelekvationen ±$$. Eftersom kvadratrotfunktionen inte är definierad för negativa värden måste termen . vara $$ var alltid positiv. Därför måste de tillåtna värdena för x (domänen) vara x≥2. Med det som domän är de resulterande värdena för y (intervallet) antingen alla värden y≥0, om du tar den positiva lösningen av kvadratroten, eller y≤0, om du tar den negativa lösningen av kvadratroten. Observera att för att hitta den inversa funktionen definierade du ursprungligen domänen som x≥0. Därför är den korrekta lösningen för den inversa funktionen det positiva alternativet.

Jämför domänen och intervallet för inversen med originalets domän och intervall. Kom ihåg det för den ursprungliga funktionen, $y=2X^{}$, domänen definierades som alla värden på x≥0, och intervallet definierades som alla värden på y≥2. För den inversa funktionen byter nu dessa värden, och domänen är alla värden på x≥2, och intervallet är alla värden på y≥0.

Som ett exempel, välj värdet x=1 för den ursprungliga ekvationen $y=2X^{}$. Detta ger resultatet y=4.

Sedan sätter du värdet 4 i den inversa funktionen $$. Detta ger verkligen resultatet y=1. Du kan dra slutsatsen att din inversa funktion är korrekt.

Metod 2 av 3: Fyll i kvadraten för att hitta den inversa funktionen

1. Ge andragradsekvationen rätt form. För att hitta inversen måste du börja med formens ekvation $f\left(X\right)=a{X}^{}$. Om det behövs måste du kombinera liknande termer för att få ekvationen i detta format. Med ekvationen skriven så här kan du berätta lite mer om den.

• Det första du kommer att lägga märke till är värdet på koefficienten a. Om en>0, då definierar ekvationen en parabel vars ändar pekar uppåt (dalparabel). Om en<0, då definierar ekvationen en parabel vars ändar pekar nedåt (bergsparabel). Observera att a≠0. Om det inte var det skulle detta vara en linjär funktion och inte en kvadratisk.

2. Känn igen standardformatet för kvadraten. Innan du kan hitta den inversa funktionen måste du skriva om ekvationen i standardformatet. Standardformatet för en kvadratisk funktion är $f\left(X\right)=a(X-h{)}^{}$. De numeriska termerna a, h och k kommer att utvärderas om du transformerar ekvationen genom att beräkna kvadraten.

Observera att denna standardform består av en perfekt kvadratisk term, $(X-h{)}^{}$, som sedan modifieras av de andra två elementen a och k. För att komma fram till denna perfekta andragradsform måste du skapa vissa villkor i din andragradsekvation.

3. Tänk tillbaka på formen av en perfekt kvadratisk funktion. Kom ihåg att en kvadratisk funktion som är en perfekt kvadrat uppstår från två binomialer av $(X+b)(X+b)$, eller $(X+b{)}^{}$. Om du gör denna multiplikation får du $X^{}$. Så den första termen i andragraden är den första termen i binomialen, kvadratisk, och den sista termen i andragraden är kvadraten på den andra termen i binomialen. Mellantermen består av två gånger produkten av de två termerna, i detta fall $2*X*b$.

För att slutföra kvadraten, arbeta bakåt. Du börjar med $X^{}$ och en andra x-termin. Från koefficienten för den termen, som du kan definiera som `2b`, måste du få $b^{}$ se för att hitta. Detta kräver en kombination av att dividera med två och sedan kvadrera resultatet.

4. Se till att koefficienten för $$X2{displaystyle x^{2}} 1 är. Kommer du ihåg den ursprungliga formen av den kvadratiska funktionen $a{X}^{}$. Om den första koefficienten är något annat än 1, måste du dividera alla termer med det värdet för att få a=1.

Ta till exempel den kvadratiska funktionen $f\left(X\right)=2X^{}$. Du kan förenkla detta genom att dividera alla termer med 2 för att få den resulterande funktionen $f\left(X\right)=2(X^{}$ att få. Koefficienten 2 stannar utanför parentesen och kommer att vara en del av din slutliga lösning.

Om alla termer inte är multiplar av a får du bråkkoefficienter. Till exempel: funktionen $f\left(X\right)=3X^{}$ kommer att förenklas till $f\left(X\right)=3(X^{}$. Arbeta ut bråken noggrant.

5. Hitta hälften av den mellersta koefficienten och kvadrera den. Du har redan de två första termerna i kvadratformeln. Dessa är termen $X^{}$ och koefficienten som representerar x-termen. Om du tar den koefficienten som värdet den har, kan du lägga till eller subtrahera talet som behövs för att göra en perfekt kvadrat. Kom ihåg från ovan att den nödvändiga tredje termen i kvadraten är denna andra koefficient dividerad med två, och sedan kvadratisk.

Till exempel, om de två första termerna i din kvadratiska funktion $X^{}$ du hittar den nödvändiga tredje termen genom att dividera 3 med 2 (eller 3/2) och sedan kvadrera det för att få 9/4. Den kvadratiska $X^{}$ är en perfekt fyrkant.

Ett annat exempel: anta att de två första termerna $X^{}$ är. Hälften av mellantermen är -2, och sedan kvadrerar du den för att få 4. Den resulterande perfekta kvadraten är $X^{}$.

Anta att du har funktionen $f\left(X\right)=X^{}$. Som nämnts ovan använder du de två första termerna för att komplettera kvadraten. Genom att använda mellantermen -4x genererar du en tredje term +4. Lägg till 4 och subtrahera 4 från ekvationen, i formuläret $f\left(X\right)=(X^{}$. Parenteserna är bara placerade för att definiera den andragradsekvation du gör. Notera +4 inuti parentesen och -4 på utsidan. Förenkla siffrorna till resultatet $f\left(X\right)=(X^{}$.

7. Faktorisera andragradsekvationen. Polynomet inom parentes är en andragradsekvation, som du kan skriva om som $(X+b{)}^{}$. I exemplet från föregående steg ($f\left(X\right)=(X^{}$) räknar du in kvadratfaktorn $(X-2{)}^{}$. Kopiera resten av ekvationen så att din lösning $f\left(X\right)=(X-2{)}^{}$ blir. Detta är samma funktion som din ursprungliga andragradsekvation ($f\left(X\right)=X^{}$), omskriven som standardformuläret $f\left(X\right)=a(X-h{)}^{}$.

Fortsätt arbeta med förhandsgranskningsfunktionen $f\left(X\right)=(X-2{)}^{}$. Eftersom detta är i standardformat kan du bestämma vertex som x=2, y=5. Så för att undvika symmetrin arbetar du bara med höger sida av grafen och ställer in domänen om alla värden x≥2. Att infoga värdet x=2 i funktionen returnerar y=5. Du kan se att värdena på y kommer att öka när x ökar. Därför är området för denna ekvation y≥5.

Fortsätt arbeta med funktionen $f\left(X\right)=(X-2{)}^{}$. Infoga x i stället för f(x), och infoga y (eller f(x), om du föredrar det) i stället för x. Detta ger som en ny funktion $X=(y-2{)}^{}$.

10. Skriv om den omvända ekvationen i termer av y. Använd en kombination av algebraiska steg, se till att du utför samma operation jämnt på båda sidor av ekvationen, isolera variabeln y. För arbetsjämförelsen $X=(y-2{)}^{}$ denna version ser ut så här:

$X=(y-2{)}^{}$ (ursprunglig utgångspunkt)

$X-5=(y-2{)}^{}$ (subtrahera 5 från båda sidor)

±$$ (kvadratrot från båda sidor; kom ihåg att kvadratroten ger både positiva och negativa möjliga svar)

±$$ (lägg till 2 på båda sidor)

Se lösningen av exempelekvationen ±$$. Eftersom kvadratrotfunktionen inte är definierad för negativa värden måste termen . vara $$ var alltid positiv. Därför måste de tillåtna värdena för x (domänen) vara x≥5. Med det som domän är de resulterande värdena för y (intervallet) antingen alla värden y≥2 (om du tar den positiva lösningen av kvadratroten), eller y≤2 (om du väljer den negativa lösningen av kvadratroten). Kom ihåg att du ursprungligen definierade domänen som x≥2, för att hitta den inversa funktionen. Därför är den korrekta lösningen för den inversa funktionen det positiva alternativet.

Som ett exempel, välj värdet x=3 som ska inkluderas i den ursprungliga ekvationen $f\left(X\right)=X^{}$ att bearbeta. Detta ger resultatet y=6.

Sedan bearbetar man y=6 i den inversa funktionen $$. Detta returnerar y=3, vilket är talet du började med. Du kan dra slutsatsen att din inversa funktion är korrekt.

Metod 3 av 3: Använd kvadratformeln

2. Börja med en andragradsekvation för att hitta inversen. Din andragradsekvation bör börja i formatet $f\left(X\right)=a{X}^{}$. Ta de algebraiska stegen som behövs för att få din ekvation i den formen.

För det här avsnittet av den här artikeln använder du exempelekvationen $f\left(X\right)=X^{}$.

Baserat på arbetsekvationen $f\left(X\right)=X^{}$, ger detta resultatet $X=y^{}$.

För att få den vänstra sidan lika med noll i exempelekvationen måste du subtrahera x från båda sidor av ekvationen. Detta ger resultatet $0=y^{}$.

6. Omdefiniera variablerna så att de passar kvadratformeln. Det här steget är lite knepigt. Vet att kvadratformeln löser x i ekvationen $0=a{X}^{}$. Så för ekvationen du har nu, $0=y^{}$, för att följa den klassificeringen måste du omdefiniera termerna enligt följande:

Lämna $y^{}$. Alltså, x=1

Lämna $2y=bX$. Så b=2

Lämna $(-3-X)=c$. Så, c=(-3-x)

$f^{}$

$f^{}$

9. Bestäm domänen och omfånget för den inversa funktionen. Observera att för att definiera kvadratroten måste domänen vara x≥-4. Kom ihåg att domänen för den ursprungliga funktionen var x≤-1 och intervallet var y≥-4. För att välja den inversa funktionen som motsvarar, behöver du den andra lösningen, $f^{}$ välj som korrekt invers funktion.

Utgår från den ursprungliga funktionen $f\left(X\right)=X^{}$, välj din x=-2. Detta returnerar y=-3. Ersätt nu värdet av x=-3 i den inversa funktionen, $f^{}$. Detta returnerar -2, vilket verkligen är värdet du började med. Så din definition av den inversa funktionen är korrekt.

"Hitta inversen av en andragradsekvation"

Hitta inversen av en funktion

Hitta domänen för en funktion

Hitta ekvationen för en tangentlinje

Hitta derivatan av kvadratroten av x