Hur man beräknar volymen av en fyrkantig pyramid

Steg
Tips

En fyrkantig pyramid är en tredimensionell figur med en kvadratisk bas och triangulära lutningar som möts i en punkt ovanför basen. I händelse av att $s$ $s$ är längden på en av kvadratens sidor och $h$ $h$ höjden på pyramiden (det vinkelräta avståndet från basen till den punkten), då kan volymen av en kvadratisk pyramid beräknas med formeln $V = \frac{1}{3} s^{2} h$ $V={frac{1}{3}}s^{2}h$ . Det spelar ingen roll om pyramiden är lika stor som en pappersvikt eller större än pyramiden i Giza - den här formeln fungerar för vilken fyrkantig pyramid som helst. Volymen kan också beräknas med hjälp av pyramidens "apothema".

Steg

Metod 1 av 3: Bestäm volymen med basens yta och höjden

1. Mät längden på sidan av basen. Eftersom fyrkantiga pyramider per definition har en kvadratisk bas, bör alla sidor av basen ha lika långa. Så med en fyrkantig pyramid behöver du bara veta längden på en av sidorna.

Anta att du har en pyramid med en kvadratisk bas vars sidor har en längd av $s = 5 centimeter$ $s=5{text{cm}}$ . Du kommer att använda detta värde för att beräkna arean av basen.
Om basens sidor inte är lika långa har du en rektangulär pyramid istället för en fyrkantig pyramid. Formeln för volymen av en rektangulär pyramid är mycket lik formeln för kvadratiska pyramider. I händelse av att $l$ $l$ är längden på basen av den rektangulära pyramiden och $w$ $w$ bredden, sedan volymen av pyramiden $V = \frac{1}{3} h * l * w$ $V={frac{1}{3}}h*l*w$ .

Bild med titeln Beräkna volymen av en fyrkantig pyramid Steg 02

2. Beräkna arean av basen. För att bestämma volymen behöver du först arean av basen. Det gör du genom att multiplicera basens längd och bredd. Eftersom basen av en fyrkantig pyramid är en kvadrat, har alla sidor samma längd, och basens yta är lika med kvadraten på längden på en av dess sidor (alltså multiplicerad med sig själv).

I exemplet är sidorna av pyramidens bas alla 5 cm, och du beräknar basens yta enligt följande:

Yta = s^{2} = (5 centimeter)^{2} = 25 {centimeter}^{2}

${text{Area}}=s^{2}=(5{text{cm}})^{2}=25{text{cm}}^{2}$

Kom ihåg att tvådimensionella områden uttrycks i kvadrater – kvadratcentimeter, meter, kilometer, etc.

Bild med titeln Beräkna volymen av en fyrkantig pyramid Steg 03

3. Multiplicera arean av basen med höjden på pyramiden. Sedan multiplicerar du basytan med höjden på pyramiden. Som en påminnelse, höjden är avståndet är längden av linjesegmentet från toppen av pyramiden till basen, i rät vinkel.

I exemplet antar vi att pyramiden har en höjd av 9 cm. I det här fallet, multiplicera arean av basen med detta värde, enligt följande:

25 centimeter 2 * 9 centimeter = 225 {centimeter}^{3}

$25{text{cm}}^{2}*9{text{cm}}=225{text{cm}}^{3}$

Kom ihåg att volymer uttrycks i kubikenheter. I det här fallet, eftersom alla linjära mått är centimeter, anges volymen i kubikcentimeter.

Bild med titeln Beräkna volymen av en fyrkantig pyramid Steg 04

4. Dela det här svaret med 3. Slutligen bestämmer du volymen på pyramiden genom att dividera värdet du just hittade (genom att multiplicera arean av basen med höjden) med 3. Detta beräknar volymen av den kvadratiska pyramiden.

I exemplet dividerar du 225 cm med 3 och svaret är 75 cm för volymen.

Metod 2 av 3: Bestäm volymen med apotem

Bild med titeln Beräkna volymen av en kvadratisk pyramid Steg 05

1. Mät pyramidens apotem. Ibland anges inte pyramidens vinkelräta höjd (eller så måste du mäta den), utan apotem. Med apotem kan du använda Pythagoras sats använd för att beräkna vinkelrät höjd.

En pyramids apotem är avståndet från spetsen till mitten av en av sidorna av dess bas. Mät till mitten av en av sidorna och inte till ett av hörnen på basen. För det här exemplet antar vi att apotem är 13 cm och längden på ena sidan av basen är 10 cm.
Kom ihåg att Pythagoras sats kan uttryckas som ekvationen $a 2 + b^{2} = c^{2}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , varigenom $a$ $a$ och $b$ $b$ de vinkelräta benen är av rät triangel och $c$ $c$ hypotenusan.

Bild med titeln Beräkna volymen av en fyrkantig pyramid Steg 06

2. Föreställ dig en rätvinklig triangel. För att använda Pythagoras sats behöver du en rätvinklig triangel. Föreställ dig en triangel som delar pyramiden på mitten och vinkelrätt mot pyramidens bas. Pyramidens apotem, kallad

l

$l$ , är hypotenusan för denna räta triangel. Basen av denna rätvinkliga triangel är halva längden av

s

$s$ , sidan av pyramidens kvadratiska bas.

Bild med titeln Beräkna volymen av en fyrkantig pyramid Steg 07

3. Tilldela variabler till värdena. Pythagoras sats använder variablerna a, b och c, men det är bra att ersätta dem med variabler som är meningsfulla för ditt problem. apotem

l

$l$ tar platsen för

c

$c$ i Pythagoras sats. Benet i den högra triangeln (

\frac{s}{2}

${frac{s}{2}}$ ), tar platsen för

b .

$b$ Du går höjden

h

$h$ bestämma pyramiden, som upptar platsen för

a

$a$ i Pythagoras sats.

Denna ersättning ser ut så här:

a 2 + b^{2} = c^{2}

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

h 2 + (\frac{s}{2})^{2} = l^{2}

$h^{2}+({frac{s}{2}})^{2}=l^{2}$

Bild med titeln Beräkna volymen av en fyrkantig pyramid Steg 08

4. Använd Pythagoras sats för att beräkna den vinkelräta höjden. Använd de uppmätta värdena

s = 10

$s=10$ och

l = 13

$l=13$ . Lös sedan ekvationen:

h 2 = l^{2} - (\frac{s}{2})^{2}

$h^{2}=l^{2}-({frac{s}{2}})^{2}$ .....(ursprunglig ekvation)

h = \sqrt{l} 2 - (\frac{s}{2})^{2}

$h={sqrt{l^{2}-({frac{s}{2}})^{2}}}$ .....(ruta på båda sidor)

h = \sqrt{13} 2 - (\frac{10}{2})^{2}

$h={sqrt{13^{2}-({frac{10}{2}})^{2}}}$ .....(skriv in värden)

h = \sqrt{169 - 5} 2

$h={sqrt{169-5^{2}}}$ .....(förenkla bråk)

h = \sqrt{169 - 25}

$h={sqrt{169-25}}$ .....(förenkla kvadrat)

h = \sqrt{144}

$h={sqrt{144}}$ .....(subtrahera)

h = 12

$h=12$ .....(förenkla root)

Bild med titeln Beräkna volymen av en fyrkantig pyramid Steg 09

5. Använd höjd och bas för att beräkna volym. Efter att ha tillämpat dessa beräkningar på Pythagoras sats har du nu den information du behöver för att beräkna volymen på pyramiden. Använd formeln

V = \frac{1}{3} s^{2} h

$V={frac{1}{3}}s^{2}h$ och lös dessa, se till att ge svaret i kvadratiska enheter.

Av beräkningarna drar vi slutsatsen att höjden på pyramiden är 12 cm. Använd detta tillsammans med 10 cm-sidan av basen för att beräkna pyramidens volym:

V = \frac{1}{3} s^{2} h

$V={frac{1}{3}}s^{2}h$

V = \frac{1}{3} (10^{2}) 12

$V={frac{1}{3}}(10^{2})12$

V = \frac{1}{3} (100) (12)

$V={frac{1}{3}}(100)(12)$

V = 400 centimeter 3

$V=400{text{cm}}^{3}$

Metod 3 av 3: Bestämma volymen med höjden på benen

Bild med titeln Beräkna volymen av en kvadratisk pyramid Steg 10

1. Mät höjden på pyramidens ben. Höjden på benen är längden på pyramidens kanter, mätt från toppen till ett av hörnen på basen. Som ovan, använd Pythagoras sats för att beräkna pyramidens vinkelräta höjd.

I detta exempel antar vi att höjden på benen är 11 cm och att den vinkelräta höjden är 5 cm.

Bild med titeln Beräkna volymen av en kvadratisk pyramid Steg 11

2. Föreställ dig en rätvinklig triangel. Återigen behöver du en rätvinklig triangel för att kunna använda Pythagoras sats. I det här fallet är dock det okända värdet pyramidens bas. Känd är den vertikala höjden och höjden på benen. Föreställ dig nu att du skär pyramiden diagonalt från ett hörn till det andra hörnet och öppnar sedan figuren, det resulterande planet kommer att se ut som en triangel. Höjden på den triangeln är pyramidens vinkelräta höjd. Detta delar upp den exponerade triangeln i två symmetriska räta trianglar. Hypotenusan för var och en av de räta trianglarna är höjden på pyramidens ben. Basen för var och en av de räta trianglarna är halva diagonalen av pyramidens bas.

Bild med titeln Beräkna volymen av en fyrkantig pyramid Steg 12

3. Tilldela variabler. Använd den imaginära räta triangeln och tilldela värden till Pythagoras sats. Du vet den vertikala höjden,

h,

$h,$ som är ena sidan av Pythagoras sats,

a

$a$ . Höjden på pyramidens ben,

l,

$jag,$ bildar hypotenusan för denna imaginära räta triangel och tar därför platsen för

c

$c$ . Den okända diagonalen för pyramidens bas är den återstående sidan av den räta triangeln,

b .

$b$ Efter att ha gjort dessa substitutioner ser ekvationen ut så här:

a 2 + b^{2} = c^{2}

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

h 2 + b^{2} = l^{2}

$h^{2}+b^{2}=l^{2}$

Bild med titeln Beräkna volymen av en fyrkantig pyramid Steg 13

4. Beräkna diagonalen för den kvadratiska basen. Du måste ändra ordning på ekvationen för att få variabeln

b

$b$ isolera och beräkna sedan dess värde.

h 2 + b^{2} = l^{2}

$h^{2}+b^{2}=l^{2}$ ..........(justerad ekvation)

b 2 = l^{2} - h^{2}

$b^{2}=l^{2}-h^{2}$ ..........(ersätt h på båda sidor)

b = \sqrt{l} 2 - h^{2}

$b={sqrt{l^{2}-h^{2}}}$ ..........(subtrahera kvadratroten från båda sidorna)

b = \sqrt{11} 2 - 5^{2}

$b={sqrt{11^{2}-5^{2}}}$ ..........(fyll i siffrorna)

b = \sqrt{121 - 25}

$b={sqrt{121-25}}$ ..........(förenkla rutorna)

b = \sqrt{96}

$b={sqrt{96}}$ ..........(subtrahera värden)

b = 9.80

$b=9,80$ ..........(förenkla kvadratroten)

Dubbla detta värde för att hitta diagonalen för pyramidens kvadratiska bas. Således är diagonalen för pyramidens bas 9,8 * 2 = 19,6 cm.

Bild med titeln Beräkna volymen av en kvadratisk pyramid Steg 14

5. Hitta sidan av basen av diagonalen. Basen på pyramiden är en kvadrat. Diagonalen för varje kvadrat är lika med längden på en av dess sidor, gånger kvadratroten 2. Och så kan du hitta sidan på en kvadrat genom att dividera diagonalen med kvadratroten 2.

I detta pyramidexempel är basens diagonal 19,6 cm. Därför är sidan lika med:

s = \frac{19.6}{\sqrt{2}} = \frac{19.6}{1.41} = 13.90

$s={frac{19.6}{{sqrt{2}}}}={frac{19.6}{1.41}}=13.90$

Bild med titeln Beräkna volymen av en fyrkantig pyramid Steg 15

6. Beräkna volymen med hjälp av sidan och höjden. Återgå till den ursprungliga formeln för att beräkna volymen med hjälp av sida och vinkelrät höjd.