Hur man beräknar lutningen och skärningspunkterna för en linje

Steg

Lutningen på en linje mäter hur brant linjen är.Du kan också säga att det är avståndet på y-axeln jämfört med avståndet på x-axeln -- det vill säga hur mycket linjen stiger vertikalt i förhållande till hur mycket den ökar horisontellt. Att kunna hitta lutningen på en linje, eller använda lutningen för att hitta punkter på linjen, är en viktig färdighet som används inom matematik, ekonomi, naturvetenskap, redovisning/finans och andra områden.

Steg

Metod 1 av 4: Använd en graf för att hitta lutningen

1. Välj två punkter på linjen. Rita punkter på grafen för att representera dessa punkter och notera deras koordinater.

När du ritar punkter, glöm inte att nämna x-koordinaten först och sedan y-koordinaten.
Till exempel: du kan välja poängen (-3, -2) och (5, 4).

Bild med titeln Beräkna lutning och skärningar av en linje Steg 2

2. Hitta stigningen mellan de två punkterna. För att göra detta måste du jämföra skillnaden i y av de två punkterna. Börja med den första punkten, punkten längst till vänster på grafen, och räkna tills du kommer till y-koordinaten för den andra punkten.

Ökningen kan vara positiv eller negativ; det vill säga man måste räkna upp eller kanske ner för att hitta den. Om linjen rör sig uppåt och åt höger är stigningen positiv. Om linjen rör sig nedåt och åt höger är stigningen negativ.

Till exempel, om y-koordinaten för den första punkten är (-2) och y-koordinaten för den andra punkten är (4), lägger du till sex punkter och stigningen är 6.

Bild med titeln Beräkna lutning och skärningar av en linje Steg 3

3. Bestäm det horisontella avståndet mellan de två punkterna. För att göra detta måste du jämföra skillnaden i x-värden för de två punkterna. Börja med den första punkten, punkten längst till vänster om grafen, och räkna tills du kommer till x-koordinaten för den andra punkten.

Det horisontella avståndet är alltid positivt; det vill säga man kan bara räkna från vänster till höger, aldrig från höger till vänster.

Till exempel, om x-koordinaten för den första punkten är (-3) och x-koordinaten för den andra punkten är (5), så skulle du räkna ett avstånd på 8.

Bild med titeln Beräkna lutning och skärningar av en linje Steg 4

4. Gör ett förhållande y/x för att hitta lutningen. Lutningen är vanligtvis en bråkdel, men kan också vara ett heltal.

Till exempel, om stigningen är 6 och fallet är 8, så är din lutning det

\frac{6}{8}

${displaystyle {frac {6}{8}}}$ , vilket kan förenklas till

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ .

Metod 2 av 4: Använd två givna punkter för att hitta lutningen

Bild med titeln Beräkna lutning och skärningar av en linje Steg 5

1. Skriv följande formel:

m = y 2 - y_{1} X 2 - X_{1}

${displaystyle m={frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$ . I denna formel är `m` lutningen,

(X 1, y_{1})

$(x_{{1}},y_{{1}})$ är koordinaterna för den första punkten,

(X 2, y_{2})

$(x_{{2}},y_{{2}})$ är koordinaterna för den andra punkten.

Kom ihåg att lutningen är lika med $\frac{y}{X}$ ${frac{y}{x}}$ . Du använder den här formeln för att hitta förändringen i y (stigning) över förändringen i x (avstånd).

Bild med titeln Beräkna lutning och skärningar av en linje Steg 6

2. Sätt x- och y-koordinaterna i formeln. Se till att du har koordinaterna för den första punkten (

(X 1, y_{1})

$(x_{{1}},y_{{1}})$ ) och den andra punkten (

(X 2, y_{2})

$(x_{{2}},y_{{2}})$ ) på rätt ställen i formeln, annars kommer du inte att beräkna rätt lutning.

Till exempel, givet punkterna (-3, -2) och (5, 4), kommer din formel att se ut så här:

m = 4 - (- 2) 5 - (- 3)

${displaystyle m={frac {4-(-2)}{5-(-3)}}}$ .

Bild med titeln Beräkna lutning och skärningar av en linje Steg 7

3. Slutför beräkningen och förenkla om möjligt. Detta ger dig lutningen som ett bråktal eller heltal.

Till exempel: med en lutning

m = 4 - (- 2) 5 - (- 3)

${displaystyle m={frac {4-(-2)}{5-(-3)}}}$ räknar du

4 - (- 2) = 6

${displaystyle 4-(-2)=6}$ i täljaren ((kom ihåg att lägga till när du subtraherar ett negativt tal) och

5 - (- 3) = 8

${displaystyle 5-(-3)=8}$ i nämnaren. Du förenklade

\frac{6}{8}

${displaystyle {frac {6}{8}}}$ sedan till

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ , och sålunda

m = \frac{3}{4}

${displaystyle m={frac {3}{4}}}$ .

Metod 3 av 4: Bestämma skärningspunkten med y-axeln, givet lutningen och en punkt

Bild med titeln Beräkna lutning och skärningar av en linje Steg 8

1. Ställ in formeln y=mX+b{displaystyle y=mx+b} ${displaystyle y=mx+b}$ på. I formeln är y y-koordinaten för valfri punkt på den räta linjen, m är lutningen, x är x-koordinaten för valfri punkt på linjen och b är skärningspunkten med y-axeln.

$y = m X + b$ $y=mx+b$ är ekvationen för en rät linje.
Skärningen med y-axeln är den punkt där linjen korsar y-axeln.

EXPERTTIPS

Grace Imson, MA

Matematiklärare vid City College i San Francisco Grace Imson är en matematiklärare med över 40 års erfarenhet. Hon undervisar för närvarande i matematik vid City College i San Francisco och har tidigare arbetat på matematikfakulteten vid Saint Louis University. Grace har undervisat i matematik i grundskolan, gymnasiet och college. Hon har en magisterexamen i utbildningsvetenskap med inriktning mot skolledning och handledning från Saint Louis University.

Grace Imson, MA
Matematiklärare vid City College of San Francisco

Vår expert förklarar:` Om du har lutningen och en punkt, räknar du in det i linjens ekvation. I y = mx + b är m lutningen, och punktens koordinater kommer att innehålla både x och y. Lös sedan för b för att hitta skärningen med y-axeln.

Bild med titeln Beräkna lutning och skärningar av en linje Steg 9

2. Bearbeta lutningen och koordinaterna för en punkt på linjen. Kom ihåg att lutningen är lika med stigningen över det horisontella avståndet. Om du behöver hjälp med att hitta lutningen, se instruktionerna ovan.

Till exempel: om lutningen är lika med

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ , och en punkt på linjen är (5.4), då ser formeln ut så här:

4 = \frac{3}{4} (5) + b

${displaystyle 4={frac {3}{4}}(5)+b}$ .

Bild med titeln Beräkna lutning och skärningar av en linje Steg 10

3. Lös ekvationen för b. Multiplicera först lutningen och x-koordinaten. Subtrahera detta tal från båda sidor för att lösa b.

I exempelproblemet blir ekvationen

4 = 3 \frac{3}{4} + b

${displaystyle 4=3{frac {3}{4}}+b}$ . Om du

3 \frac{3}{4}

${displaystyle 3{frac {3}{4}}}$ subtraherar från båda sidor, slutar du med

\frac{1}{4} = b

${displaystyle {frac {1}{4}}=b}$ . Så skärningspunkten med y-axeln är lika med

\frac{1}{4}

${frac{1}{4}}$ .

Bild med titeln Beräkna lutning och skärningar av en linje Steg 11

4. Kontrollera ditt arbete. Rita den kända punkten på en graf och rita sedan en linje med hjälp av lutningen (lutningen). För att hitta skärningen med y-axeln, hitta punkten där linjen skär y-axeln.

Till exempel: om lutningen

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ är, och en punkt är (5.4), dra sedan en punkt upp (5.4), rita sedan andra punkter längs linjen genom att gå fyra till vänster och tre nedåt. Om du drar en linje genom punkterna ska linjen skära y-axeln strax ovanför (0,0)-koordinaten.

Metod 4 av 4: Bestämma skärningspunkten med x-axeln, givet lutningen och skärningen med y-axeln

Bild med titeln Beräkna lutning och skärningar av en linje Steg 12

$y = m X + b$ $y=mx+b$ är ekvationen för en rät linje.
Skärningen med x-axeln är den punkt där linjen korsar x-axeln.

Bild med titeln Beräkna lutning och skärningar av en linje Steg 13

2. Tillämpa lutningen och skärningspunkten med y-axeln på formeln. Kom ihåg att lutningen är lika med stigningen över det horisontella avståndet. Om du behöver hjälp med att hitta lutningen, se instruktionerna ovan.

Till exempel: lutningen är

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ , och skärningspunkten med y-axeln är

\frac{1}{4}

${frac{1}{4}}$ , så formeln kommer att se ut så här:

y = \frac{3}{4} X + \frac{1}{4}

${displaystyle y={frac {3}{4}}x+{frac {1}{4}}}$ .

Bild med titeln Beräkna lutning och skärningar av en linje Steg 14

3. Sätt y till 0.Du letar efter skärningspunkten med x-axeln, punkten där linjen korsar x-axeln. Vid denna punkt kommer y-koordinaten att vara noll. Så om vi sätter y till 0, och löser för motsvarande x-koordinat, hittar vi punkten (x, 0), som är skärningspunkten med x-axeln.

I exempelproblemet blir ekvationen

0 = \frac{3}{4} X + \frac{1}{4}

${displaystyle 0={frac {3}{4}}x+{frac {1}{4}}}$ .

Bild med titeln Beräkna lutning och skärningar av en linje Steg 15

4. Slutför ekvationen genom att lösa x. Subtrahera först skärningspunkten med y-axeln från båda sidor. Dela sedan båda sidor med lutningen.

I exempelproblemet blir ekvationen

- 1 4 = \frac{3}{4} X

${displaystyle {frac {-1}{4}}={frac {3}{4}}x}$ . Dela båda sidorna

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ , och du får

- 4 12 = X

${displaystyle {frac {-4}{12}}=x}$ . Detta förenklas till

- 1 3 = X

${displaystyle {frac {-1}{3}}=x}$ . Så skärningspunkten med x-axeln är

(- 1 3, 0)

${displaystyle ({frac {-1}{3}},0)}$ . Således

- 1 3

${displaystyle {frac {-1}{3}}}$ .

Bild med titeln Beräkna lutning och skärningar av en linje Steg 16

5. Kontrollera ditt arbete. Rita en graf över skärningspunkten med y-axeln och rita sedan en linje med lutningen. För att hitta skärningspunkten med x-axeln, hitta punkten där linjen skär x-axeln.

Till exempel: om lutningen

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ är , och skärningen med y-axeln

(0, \frac{1}{4})

${displaystyle (0,{frac {1}{4}})}$ , dra sedan poängen

(0, \frac{1}{4})

${displaystyle (0,{frac {1}{4}})}$ , och rita sedan andra punkter längs linjen genom att räkna 4 till vänster och 3 ner, och 3 till höger och 4 upp. Om du drar en linje genom punkterna ser du att linjen korsar x-axeln precis till vänster om (0,0) koordinaten.